[論文レビュー] An Osgood's criterion for a semilinear stochastic differential equation

Jorge A. Leòn, Liliana Peralta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、形 $ dX_t = b(t,X_t)dt + \sigma(t)X_t dW_t $ の半線形確率微分方程式（SDE）に対して、Osgoodの基準を拡張し、$ 1/b $ の可積分性に基づく有限時刻での爆発の条件を確立するとともに、$ \sigma \equiv 1 $ の場合にFellerのテストを一般化する。主な結果は、$ b $ および $ \sigma $ に対して所定の正則性および単調性条件が満たされる下で、爆発が発生するのは $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $ であるための必要十分条件である。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to give an Osgood's criterion for solutions of semilinear stochastic differential equations of the form $X_{t}=ξ+\int_{0}^{t}b(s,X_{s})ds+\int_{0}^{t}σ(s)X_{s}dW_{s},\ t\geq 0$. Here, $b$ is a non-negative, non-decreasing by components and continuous random field and $σ$ is a predictable and continuous process. Also we present a generalization of the so-called Feller's test whenever $σ\equiv 1$.

研究の動機と目的

• 非定常な乗法的ノイズを伴う半線形SDEにおける有限時刻での爆発の基準の欠如に対処する。
• 時間および状態に依存するドリフトを伴う方程式について、ODEにおけるOsgoodの古典的基準を確率的設定へ拡張する。
• $ \sigma \equiv 1 $ の非定常ケースにおいてFellerのテストを一般化する。所定の正則性および単調性仮定の下で。
• 逆ドリフト関数のパスワイズ可積分性に基づく確率的爆発基準を確立する。
• 時間変換されたブラウン運動を用いた変換フレームワークを提供し、問題を時間定常な設定に還元する。

提案手法

• 二次変動過程 $ \Lambda(t) = \int_0^t \sigma^2(s) ds $ を用いた時間変換技術を適用し、元のSDEを時間変換された拡散に変換する。
• 伊藤の補題を用いて、$ \tilde{Z}_t = Z_t e^{\tilde{B}_t - t/2} $ の変換された方程式を導出する。ここで $ \tilde{B}_t $ は時間変換下でのブラウン運動である。
• 変換された方程式を解析するため、新たなドリフト係数 $ \breve{b}(\omega,t,x) = \frac{b(\omega,\Lambda^{-1}(t),e^x)}{\sigma^2(\Lambda^{-1}(t))e^x} $ を定義する。
• 比較補題を適用し、$ b $ が単調かつ正である条件下で、$ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $ のとき爆発が発生することを示す。
• パスワイズ解析および強マルコフ性を用いて、元の過程の爆発時刻と $ 1/b $ の可積分性を関連付ける。
• 非爆発条件の下で、元のSDEの爆発と積分 $ \int_0^\infty \exp(-\sup_t |\int_0^t \sigma(r)dW_r|) dt $ の発散との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半線形SDE $ dX_t = b(t,X_t)dt + \sigma(t)X_t dW_t $ の解が有限時刻で爆発する条件は何か？
• RQ2 ODEにおけるOsgoodの基準を、乗法的ノイズを伴う非定常な半線形SDEへ拡張できるか？
• RQ3 SDEの爆発行動は $ 1/b $ の可積分性にどのように依存するのか。また、ノイズ係数 $ \sigma $ はどのような役割を果たすか？
• RQ4 $ \sigma \equiv 1 $ の場合、非定常ケースにおいても、アシュターフェルのテストは一般化可能か？
• RQ5 非定常な乗法的ノイズを伴うSDEを解析するための、時間定常形に還元する変換技術は何か？

主な発見

• 与えられた正則性および単調性仮定の下で、爆発が有限時刻に発生するのは $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $ であるための必要十分条件である。
• 解 $ X_t $ は、$ \Lambda(\infty) = \infty $ かつ $ b $ が所定の非減少および正の条件を満たす場合、ほとんど確実に有限時刻に爆発する。
• $ \Lambda(\infty) = \infty $ の条件下で、爆発時刻が有限であるのは $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $ であるための必要十分条件であり、$ \theta > e^c $、$ c \geq 0 $ を満たす。
• 変換された過程 $ \tilde{Z}_t $ は、ドリフト $ \frac{b(\Lambda^{-1}(s), \tilde{Z}_s)}{\sigma^2(\Lambda^{-1}(s))} $ を持つ時間定常SDEを満たし、既知の比較結果の適用が可能になる。
• 爆発時刻はパスワイズに特徴づけられる：ほとんどすべての $ \omega_0 \in \tilde{\Omega} $ に対して、$ 1/b $ の積分が発散する場合に解は爆発する。
• $ \sigma^2 > 0 $ かつ $ \Lambda(\infty) = \infty $ の仮定の下で、爆発条件は積分 $ \int_0^\infty \exp(-\sup_t |\int_0^t \sigma(r)dW_r|) dt $ の発散と同値であり、$ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $ のとき無限大である。