[論文レビュー] An Overview of Schema Theory

David R. White|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2014

Evolutionary Algorithms and Applications参考文献 38被引用数 10

ひとこと要約

本論文は、数学およびコンピュータサイエンス分野の研究者を対象に、ビルディングブロック仮説の形式的定式化を通じて遺伝的アルゴリズムの正当化に寄与する、数学的に根拠のあるスキーマ理論の導入を提供する。本稿では、可変長および遺伝的プログラミングの文脈におけるスキーマ理論の一般化を提案し、人工的・計算的進化の理論的枠組みを統合的かつ拡張的に発展させることを目的としている。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to give an introduction to the field of Schema Theory written by a mathematician and for mathematicians. In particular, we endeavor to to highlight areas of the field which might be of interest to a mathematician, to point out some related open problems, and to suggest some large-scale projects. Schema theory seeks to give a theoretical justification for the efficacy of the field of genetic algorithms, so readers who have studied genetic algorithms stand to gain the most from this paper. However, nothing beyond basic probability theory is assumed of the reader, and for this reason we write in a fairly informal style. Because the mathematics behind the theorems in schema theory is relatively elementary, we focus more on the motivation and philosophy. Many of these results have been proven elsewhere, so this paper is designed to serve a primarily expository role. We attempt to cast known results in a new light, which makes the suggested future directions natural. This involves devoting a substantial amount of time to the history of the field. We hope that this exposition will entice some mathematicians to do research in this area, that it will serve as a road map for researchers new to the field, and that it will help explain how schema theory developed. Furthermore, we hope that the results collected in this document will serve as a useful reference. Finally, as far as the author knows, the questions raised in the final section are new.

研究の動機と目的

• 進化計算分野にほとんど背景を持たない数学研究者を対象に、理解しやすく解説的な形でスキーマ理論を提示すること。
• 数学的研究に特に関連する、スキーマ理論における未解決問題および研究方向性を特定・強調すること。
• 可変長遺伝的アルゴリズムおよび遺伝的プログラミングへのスキーマ理論の一般化を提唱し、計算的進化のより強固な理論的基盤を実現すること。
• スキーマ理論とマルコフ連鎖モデルを統合することで、進化アルゴリズムにおける長期的予測および適応度分布分析の精度を向上させること。
• 力学系理論を用いてビルディングブロック仮説を明確な数学的問題に再定式化し、進化計算分野における理論的厳密性を高めること。

提案手法

• 技術的証明よりも動機付けと哲学的根拠に焦点を当て、初等的な確率論および組合せ論を用いてスキーマ理論を形式化する。
• 0,1,∗の文字列としてのスキーマの概念を導入し、∗は「気にしない」位置を表す。
• 選択、交差、突然変異を考慮に入れた世代間でのスキーマのインスタンス数の期待値を定量化するスキーマ定理を提示する。
• ボーゼの遺伝的アルゴリズムのマルコフ連鎖モデルを拡張し、スキーマレベルのダイナミクスを含めることで、確率的集団分布解析を可能にする。
• 学習分類器システムにおける数的多様性のようなメカニズムを用いて、同一スキーマの複数インスタンスを組み込むことを提案し、生物学的現実性を反映する。
• 力学系理論を用いてビルディングブロック仮説を明確な数学的予想に形式化することを提言する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変長遺伝的アルゴリズムおよび遺伝的プログラミングにおいて、表現のサイズや形状が固定でない状況に、スキーマ理論をどのように一般化できるか。
• RQ2 遺伝的アルゴリズムのマルコフ連鎖モデルにおける遷移行列のエルゴディシティが保証される条件は何か。また、その条件をスキーマ理論とどのように結びつけることができるか。
• RQ3 力学系理論のツールを用いて、ビルディングブロック仮説を明確な数学的記述として定式化できるか。
• RQ4 同一スキーマが集団内に複数存在するのを許容するように、スキーマ理論をどのように拡張できるか。これは、遺伝子の重複といった生物学的現象を反映するものである。
• RQ5 スキーマ理論とマルコフ連鎖モデルの統合が、長期的予測および適応度分布モデリングの向上に果たす役割は何か。

主な発見

• スキーマ定理は、選択、交差、突然変異を考慮した世代間でのスキーマインスタンス数の期待値を予測する基盤的定量的枠組みを提供する。
• 可変長表現へのスキーマ理論の一般化により、進化のより生物学的に現実的なモデルが可能となり、人工的進化と計算的進化が一致するようになる。
• スキーマ理論とマルコフ連鎖モデルの統合により、集団上の正確な確率分布の計算が可能となり、長期的予測の精度が向上する。
• 可変長遺伝的アルゴリズムにおけるスキーマ定理の存在は、将来的な理論的進展の観点から、スキーマ理論を遺伝的プログラミングに拡張することが可能でかつ必要不可欠であることを示唆している。
• 複数のスキーマインスタンスや力学系理論による定式化といった提案された一般化により、進化計算のためのより単純でより強固な理論的枠組みが得られる可能性がある。
• 著者は、スキーマ理論が十分に適応可能で強力であるため、人工的進化から計算的進化への移行のための基礎的理論として機能しうると主張している。