[論文レビュー] An overview of the Eight International Olympiad in Cryptography "Non-Stop University CRYPTO"

A. Gorodilova, N. Tokareva+14 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2022

Coding theory and cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、2021年開催の第8回国際暗号理論オリンピック「Non-Stop University CRYPTO」（NSUCRYPTO 2021）の19の問題とその解答を提示する。本オリンピックでは、暗号法分野の多様なトピックをカバーする、解ける問題と未解決の研究的課題を併せ持つ問題が含まれており、暗号、置換、量子エラー訂正、s-ブール共有、アフィン関数との距離なども含まれる。オリンピックは33か国からの参加者を対象にオンライン開催され、19の問題が提供された。そのうち4題は未解決の研究課題を含んでおり、本論文では特にAPN関数、量子エラー訂正、s-ブール共有の分野において、詳細な解答と部分的進展を提供している。国際参加者や研究者からの貢献が強調されている。

ABSTRACT

Non-Stop University CRYPTO is the International Olympiad in Cryptography that was held for the eight time in 2021. Hundreds of university and school students, professionals from 33 countries worked on mathematical problems in cryptography during a week. The aim of the Olympiad is to attract attention to curious and even open scientific problems of modern cryptography. In this paper, problems and their solutions of the Olympiad'2021 are presented. We consider 19 problems of varying difficulty and topics: ciphers, online machines, passwords, binary strings, permutations, quantum circuits, historical ciphers, elliptic curves, masking, implementation on a chip, etc. We discuss several open problems on quantum error correction, finding special permutations and s-Boolean sharing of a function, obtaining new bounds on the distance to affine vectorial functions.

研究の動機と目的

• 第8回国際暗号理論オリンピック「Non-Stop University CRYPTO」（2021年）の19の問題を提示・分析すること。本大会は33か国から参加者が参加したオンライン開催である。
• 暗号、置換、2進文字列、楕円曲線、マスキング、量子回路を含む問題の詳細な解答を提供すること。
• 量子エラー訂正、s-ブール共有、特殊な置換、アフィン関数との距離に関する境界の4つの未解決問題を強調・議論すること。
• 参加者からの部分的および完全な解答（特に特別賞受賞作品を含む）を文書化し、以前に提示された未解決問題の状況を更新すること。
• 数学と暗号法の交差点に位置する現実の未解決問題を提示することで研究への関与を促進し、今後の学術的調査を奨励すること。

提案手法

• 問題は、対称暗号、オンラインマシン、パスワード、2進文字列、置換、量子回路、歴史的暗号、楕円曲線、マスキング、ハードウェア実装など、幅広い暗号分野から選定された。
• 各問題は、解けるタスクと、4つのケースにおいて、より深い考察を促す未解決の研究的チャレンジを含む構造となっていた。
• 解答は、数学的解析、代数的正規形の操作、計算的探索技法を通じて得られた。特にs-ブール共有および置換の特徴付けに関する問題では、これを利用した。
• 量子エラー訂正およびs-ブール共有の問題では、参加者は有限体上の代数的構造および線形代数を用いて、実現可能性の検討と例の構築を試みた。
• オリンピック形式により、リモート参加が可能であり、問題は2ラウンドに分けて公開された。未解決問題における顕著な進展を示した参加者に特別賞が授与された。
• 本論文は、参加者からの解答を収集・分析し、特にs-ブール共有の部分的進展を達成した中国チームの成果を含む。また、直交配列や秘密分散に関する先行研究も参照した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n = 7 または n = 8 のとき、既知のAPNべき関数 F(x) = xd に対して、L1(x) + L2(F(x)) が置換となるような線形関数 L1 と L2 を見つけられるか？
• RQ2 n ≥ 9 のとき、任意の既知のAPN指数 d に対して、L1 と L2 が非ゼロで、L1(x) + L2(F(x)) が置換となるような関数が存在するか？
• RQ3 すべての n に対して有効な、関数 F とすべてのアフィン関数とのハミング距離の最良の上界は何か？
• RQ4 アフィン関数とのハミング距離を可能な限り大きくする関数の無限族を構成できるか？
• RQ5 特に非自明な場合における、関数の s-ブール共有の構造的性質および存在条件は何か？

主な発見

• d = 2^2i − 2^i + 1 かつ gcd(i, n) = 1 であるAPN関数 F(x) = xd に対して、L1(x) + L2(F(x)) が置換となる唯一の解は、L1 または L2 の一方がゼロで、他方が置換である場合に限る。n = 7 または n = 8 の場合に成立する。
• Q2問題において n ≥ 9 の場合、非自明な解（L1 と L2 が両方非ゼロ）は見つからなかったが、アレクセイ・チリコフにより特定のケースで非自明な解が報告された。
• 石功宇、孔若怡、金浩翔のチームは、代数的正規形と単項式分解技術を用いて、s-ブール共有問題において部分的成功を収めた。
• 量子エラー訂正問題は部分的に扱われたが、参加者は安定化子コードや論理的キュービットの構築を検討したものの、完全な解答は得られなかった。
• n ≥ 4 の場合、アフィン関数との距離の上限が 2^n − n − 1 よりも厳密に小さいことが確認され、この境界に近づく新しい構成が提案された。
• ガボル・P・ナギ、ガボル・V・ナギ、ミクロシュ・マルォティのチームは、アフィン関数との距離と微分均一性の関係を示し、よりタイトな境界への道筋を示唆した。