[論文レビュー] An Upper Bound on the Size of Obstructions for Bounded Linear Rank-Width

Mamadou Moustapha Kanté, O‐joung Kwon+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、固定された有限体上の線形ランク幅がp以下のグラフおよびマトロイドの禁止ピボットマイナーのサイズについて、pの二重指数関数的上界を確立している。sラベル付きグラフと代数的行列演算を用いて、Lagergrenの擬似マイナー順序をピボットマイナーの文脈に適応させることで、有界な線形ランク幅に対する障害は有限であり、明示的に境界づけられることを証明した。これにより、線形ランク幅pにおける頂点マイナーの障害に関する未解決問題が解決された。

ABSTRACT

Let G be a minor-closed graph class and let G be an n-vertex graph. We say that G is a k-apex of G if G contains a set S of at most k vertices such that G⧵S belongs to G. Our first result is an algorithm that decides whether G is a k-apex of G in time 2^poly(k)⋅n². This algorithm improves the previous one, given by Sau, Stamoulis, and Thilikos [ICALP 2020, TALG 2022], whose running time was 2^poly(k)⋅n³. The elimination distance of G to G, denoted by ed_G(G), is the minimum number of rounds required to reduce each connected component of G to a graph in G by removing one vertex from each connected component in each round. Bulian and Dawar [Algorithmica 2017] proved the existence of an FPT-algorithm, with parameter k, to decide whether ed_G(G) ≤ k. This algorithm is based on the computability of the minor-obstructions and its dependence on k is not explicit. We extend the techniques used in the first algorithm to decide whether ed_G(G) ≤ k in time 2^{2^{2^poly(k)}}⋅n². This is the first algorithm for this problem with an explicit parametric dependence in k. In the special case where G excludes some apex-graph as a minor, we give two alternative algorithms, one running in time 2^{2^O(k²log k)}⋅n² and one running in time 2^{poly(k)}⋅n³. As a stepping stone for these algorithms, we provide an algorithm that decides whether ed_G(G) ≤ k in time 2^O(tw⋅ k + tw log tw)⋅n, where tw is the treewidth of G. This algorithm combines the dynamic programming framework of Reidl, Rossmanith, Villaamil, and Sikdar [ICALP 2014] for the particular case where G contains only the empty graph (i.e., for treedepth) with the representative-based techniques introduced by Baste, Sau, and Thilikos [SODA 2020]. In all the algorithmic complexities above, poly is a polynomial function whose degree depends on G, while the hidden constants also depend on G. Finally, we provide explicit upper bounds on the size of the graphs in the minor-obstruction set of the class of graphs E_k(G) = {G ∣ ed_G(G) ≤ k}.

研究の動機と目的

• 線形ランク幅がp以下のグラフにおける禁止頂点マイナーの最大サイズを特定すること。
• 代数的およびグラフ理論的道具を用いて、パス幅から線形ランク幅への障害境界の理論を拡張すること。
• 線形ランク幅の障害のサイズに対する構成的で明示的な上界を提供し、固定パrameter tractableなアルゴリズムの実現を可能にすること。
• 結果を固定された有限体上で表現可能なマトロイドへ一般化し、パス幅が有界なマトロイドのマイナー障害に対する境界を確立すること。

提案手法

• sラベル付きグラフを用いて、ピボットマイナーと線形ランク幅の文脈にLagergrenの擬似マイナー順序を適応させた。
• 部分構造とピボットマイナー関係と整合するマージング操作をモデル化するため、境界付きsラベル付きグラフを導入した。
• 有限体上の(歪)対称行列における代数的演算を用いて、グラフおよびマトロイド構造を表現・操作した。
• σ対称行列と基本グラフの枠組みを用いて、ピボットマイナーおよび線形ランク幅に関する構造定理を証明した。
• 表現論を介して、マトロイドにおけるマイナー障害とグラフにおけるピボットマイナー障害との間の対応を確立した。
• マトロイドのパス幅とグラフの線形ランク幅との関係を活用し、分野間で境界を転送した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形ランク幅がp以下のグラフにおける禁止頂点マイナーの最大サイズは何か？
• RQ2 有界線形ランク幅の障害集合のサイズは明示的に境界づけられるか。もし可能なら、その方法は？
• RQ3 σ対称行列に関して、体のサイズに依存しない一様な障害サイズの上限は存在するか？
• RQ4 グラフにおけるピボットマイナー障害と、パス幅が有界なマトロイドにおけるマイナー障害の関係は？
• RQ5 障害サイズに対する二重指数関数的上界はタイトか。それとも改善可能か？

主な発見

• 本論文は、線形ランク幅がp以下のグラフにおける禁止頂点マイナーのサイズについて、2^O(p)の二重指数関数的上界を確立した。
• 固定された有限体F上のグラフに対して、禁止ピボットマイナー障害のサイズは|F||F|O(p)で抑えられ、これはpに関して二重指数関数的である。
• 同じ上界が、パス幅がp以下のF表現可能なマトロイドのマイナー障害に対しても適用可能である。
• 著者らは、線形ランク幅がp以下の障害集合が有限であり、明示的に境界づけられることを証明した。これにより、線形ランク幅のテストに対する最初のFPTアルゴリズムが可能になった。
• この上界は、sラベル付きグラフと行列代数を用いたLagergrenの擬似マイナー順序の新規適応によって導出された。
• Jeong, Kwon, および Oumが提起した、頂点マイナー障害に対してこのような上界が存在するかという未解決問題が、本研究で解決された。