[論文レビュー] Analogs of Cuntz algebras on $L^p$ spaces

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2012

Advanced Operator Algebra Research被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$L^p(X,\mu)$ 空間上のLeavitt代数$L_d$の空間的表現を定義することにより、Cuntz代数の$L^p$空間版、すなわち$\mathcal{O}_d^p$を導入する。固定された$d$および$p \neq 2$に対して、すべてのこのような空間的表現が等長的同型なバナッハ代数$\mathcal{O}_d^p$をもたらすことを証明し、$p$に強く依存する性質を確立する：$p_1 \neq p_2$のとき、$\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$と$\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$の間に非自明な連続な同形写像は存在しない。これは、異なる$L^p$設定間での根本的な同型でない性質を示している。

ABSTRACT

For $d = 2, 3, \ldots$ and $p \in [1, \infty),$ we define a class of representations $ρ$ of the Leavitt algebra $L_d$ on spaces of the form $L^p (X, μ),$ which we call the spatial representations. We prove that for fixed $d$ and $p,$ the Banach algebra ${\mathcal{O}_{d}^{p}}$ obtained as the closure of the image of $L_d$ under the representation $ρ$ is the same for all spatial representations $ρ.$ When $p = 2,$ we recover the usual Cuntz algebra ${\mathcal{O}}_{d}.$ We give a number of equivalent conditions for a representation to be spatial. We show that for distinct $p_1$ and $p_2$ in $[1, \infty)$ and arbitrary $d_1$ and $d_2$ in $\{ 2, 3, \ldots \},$ there is no nonzero continuous homomorphism from ${\mathcal{O}}_{d_1}^{p_1}$ to ${\mathcal{O}}_{d_2}^{p_2}.$

研究の動機と目的

• 固定された$p \in [1,\infty)$に対して、$L^p$空間上でのCuntz代数の類似物を定義し、$p=2$の場合の一般化を行う。
• 良好に振る舞う$L^p$類似物を生み出す自然な表現のクラスを同定する—空間的表現を用いる。
• 固定された$d$および$p \neq 2$に対して、$L_d$の$L^p$空間上でのすべての空間的表現が、等長的同型なバナッハ代数$\mathcal{O}_d^p$をもたらすことを証明する。
• 強い$p$依存性を確立する：$p_1 \neq p_2$のとき、任意の$d_1, d_2$に対し、$\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$と$\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$の間に非自明な連続な同形写像は存在しない。
• 有限$d$に限定した主な結果をもとに、無限次元のLeavitt代数およびCohn代数への理論の拡張を試みる。

提案手法

• 標準的生成子が$L^p$-アナログの行等長写像をなすような、$L^p(X,\mu)$ 空間上でのLeavitt代数$L_d$の空間的表現を定義する。
• $L^p$空間上の等長写像を測度空間間の可測写像によって生じる半空間的写像として特徴付けるために、Lampertiの定理を用いる。
• 可測集合のボレル$\sigma$-代数（零集合を modulo で除いたもの）のホモモーティズムを用いて、$L^p$空間上での半空間的部分等長写像の理論を構築する。
• 表現が空間的であるための同値条件を確立する。これには、随伴作用と$L^p$関数への作用を含む条件が含まれる。
• $L_d$の$L^p$空間上でのすべての空間的表現が、$L_d$に同じノルムを誘導することを証明し、その結果として等長的同型なバナッハ代数$\mathcal{O}_d^p$が得られることを示す。
• $L^p$双対空間と$\|a^\prime\| = \|a\|$である事実を用いた双対性の議論により、$1/p + 1/q = 1$のとき、$\mathcal{O}_d^p$と$\mathcal{O}_d^q$は等長的反同型であるが、$p \neq 2$のときバナッハ代数として同型ではないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^p$空間上でのLeavitt代数の自然な表現のクラスを定義するための条件は何か？ そのような表現が良好に定義されたCuntz代数の類似物を生み出すか？
• RQ2 固定された$d$および$p \neq 2$に対して、$L_d$の$L^p$空間上でのすべての空間的表現は、結果として得られるバナッハ代数の等長的同型の意味で同値であるか？
• RQ3 $\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$と$\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$の間に、$p_1 \neq p_2$のとき、非自明な連続な同形写像でさえ存在しないという強い$p$依存性があるか？
• RQ4 $L^p$空間上での空間的表現および半空間的部分等長写像の理論を十分に発展させ、一意性および非同型性の結果を証明できるか？
• RQ5 $L^p$類似Cuntz代数は、元のCuntz代数（$p=2$）および異なる$p$間でどのように比較できるか？

主な発見

• 固定された$d$および$p \in [1,\infty) \setminus \{2\}$に対して、Leavitt代数$L_d$の$L^p$空間上でのすべての空間的表現は、等長的同型なバナッハ代数をもたらし、これを$\mathcal{O}_d^p$と表記する。
• $\mathcal{O}_d^p$は、$L_d$の任意の空間的表現の像のノルム閉包と等長的同型であり、$d$および$p \neq 2$に対して一意な対象を定義する。
• 異なる$p_1, p_2 \in [1,\infty)$および任意の$d_1, d_2 \in \{2,3,\ldots\}$に対して、$\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$から$\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$への非自明な連続な同形写像は存在しない。これは強い$p$依存性を示している。
• この結果は$L_d$に限らず、無限次元のLeavitt代数$L_\infty$およびCohn代数$C_d$に対しても成り立ち、非同型性の結果の広範な適用可能性を示している。
• $1/p + 1/q = 1$のとき、$\mathcal{O}_d^p$と$\mathcal{O}_d^q$はバナッハ空間として等長的反同型であるが、$p \neq 2$のときバナッハ代数として同型ではない。これは、バナッハ空間の双対性にもかかわらず代数的同型が成立しないことを示しており、その失敗を強調している。
• 非自明な連続な同形写像の非存在の証明は、双対性の議論と、$L_\infty$の$l^p(\mathbb{Z}_{>0})$上での空間的表現が、$p_1 \neq p_2$のときそのような同形写像が存在すると仮定すると矛盾を生じることに依拠している。