[論文レビュー] Analogues of Auslander-Yorke theorems for multi-sensitivity

Wen Huang, S. F. Kolyada+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、位相的力学系における多様感受性と厚感受性について、アウスランダー＝ヨーケの二分木定理の類似を確立する。最小系が多様感受性であるか、もしくはその最大等連続因子のほぼ1対1の拡張であることを証明し、シンデティックに等連続な点の概念を導入して、転移系における二分木を精緻化し、それらが厚感受性であるか、あるいはこのような点を含むことを示す。

ABSTRACT

In this paper we study multi-sensitivity and thick sensitivity for continuous surjective selfmaps on compact metric spaces. We show that multi-sensitivity implies thick sensitivity, and the converse holds true for transitive systems. Our main result is an analog of the Auslander-Yorke dichotomy theorem: a minimal system is either multi-sensitive or an almost one-to-one extension of its maximal equicontinuous factor. Furthermore, we refine it by introducing the concept of syndetically equicontinuous points: a transitive system is either thickly sensitive or contains syndetically equicontinuous points.

研究の動機と目的

• 古典的なアウスランダー＝ヨーケの二分木（感受性または等連続性）を、多様感受性や厚感受性といったより強い感受性形式へと拡張すること。
• 特に、最小系が多様感受性であるか、その最大等連続因子のほぼ1対1の拡張であるかという構造を調査すること。
• シンデティックに等連続な点の概念を導入することで、転移系における二分木を精緻化し、それらが厚感受性であるか、あるいはこのような点を含むこと。
• 最小および転移系において、因子写像構造（特に最大等連続因子）と感受性性質との間の関係を確立すること。
• 帰還時刻の組合せ的性質とシンデティック性に基づいて、多様感受性および厚感受性を特徴づけること。

提案手法

• 最小系における等連続構造関係のヴィエッヒによる特徴づけを用いて、最大等連続因子上の因子写像を分析する。
• シンデティックに等連続な点の概念を導入：点 x がシンデティックに等連続であるとは、任意の ε > 0 に対して、x の近傍 U が存在し、diam(T^n U) < ε を満たすような時間 n の集合がシンデティックであること。
• 帰還と軌道の分離を分析するために、位相的力学系の結果、特に Δ-集合および Δ*-集合の利用。
• 因子系から拡張系への感受性性質の持ち上げを可能にする、ほぼ開写像の概念を用いる。
• 最小系が厚感受性でないための必要十分条件が、最大等連続因子写像が近接的であることであり、近接的でほぼ1対1の拡張は残渣的集合上で同相であることを利用。
• ほぼ自己同型系の理論および最大等連続因子上のファイバー構造を用いて、多様感受性を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小系において、アウスランダー＝ヨーケの二分木を多様感受性へと拡張できるか？
• RQ2 転移系において、厚感受性と多様感受性は同値か？
• RQ3 最大等連続因子が最小系が多様感受性であるかどうかを決定する役割を果たすか？
• RQ4 シンデティックに等連続な点は、転移系における古典的二分木をどのように精緻化するか？
• RQ5 最小系がその最大等連続因子のほぼ1対1の拡張であるための条件は何か？

主な発見

• 最小系は、多様感受性であるか、もしくはその最大等連続因子のほぼ1対1の拡張であるかのいずれかであり、古典的アウスランダー＝ヨーケの二分木を一般化する。
• 転移系においては、厚感受性と多様感受性は同値であり、これらより強い感受性形式の間の強い関連を確立する。
• 可逆な最小系は、多様感受性であるか、またはほぼ自己同型である。これにより、このような系の構造的分類が得られる。
• 転移系は、厚感受性であるか、シンデティックに等連続な点を含む。これにより、アキン、オースランダー、バーグの古典的結果が精緻化される。
• 最大等連続因子上の因子写像がほぼ1対1であるための必要十分条件は、系が厚感受性でないことである。これにより、構造的基準が得られる。
• シンデティックに等連続な点は、ほぼ1対1の因子写像のもとで保存され、系が厚感受性でないときかつそのときに限り、このような点が存在する。