[論文レビュー] Analysis of a non local model for spontaneous cell polarisation

Vincent Calvez, Raymond J. Hawkins+2 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2011

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、半空間における分子マーカー密度が境界値に駆動される拡散および対流を伴う非局所な広義対流拡散モデルを、細胞の自発的極性形成のための分析対象として扱う。主な結果として、1次元では全質量が1を超えると解が有限時間内で爆発するが、質量が1未満の場合は解が0に収束する。高次元でも同様の質量条件のもとで爆発が生じるが、動的境界交換を組み込んだ修正モデルでは爆発が防がれ、非自明な定常状態への収束が保証される。

ABSTRACT

In this work, we investigate the dynamics of a non-local model describing spontaneous cell polarisation. It consists in a drift-diffusion equation set in the half-space, with the coupling involving the trace value on the boundary. We characterize the following behaviours in the one-dimensional case: solutions are global if the mass is below the critical mass and they blow-up in finite time above the critical mass. The higher-dimensional case is also discussed. The results are reminiscent of the classical Keller-Segel system in double the dimension. In addition, in the one-dimensional case we prove quantitative convergence results using relative entropy techniques. This work is complemented with a more realistic model that takes into account dynamical exchange of molecular content at the boundary. In the one-dimensional case we prove that blow-up is prevented. Furthermore, density converges towards a non trivial stationary configuration.

研究の動機と目的

• 非局所対流拡散モデルにおける自発的細胞極性の発生条件を理解すること。
• 特に分子マーカーの全質量との関係において、モデル内で有限時間内に爆発が生じるかどうかを特定すること。
• 境界ダイナミクスがシステムを安定化させ、爆発を防ぐ役割を分析すること。
• 1次元の場合に相対エントロピー技法を用いて定量的収束速度を確立すること。
• 固定境界対流モデルと動的交換モデルの2つを比較し、現実的な極性を記述する能力について検討すること。

提案手法

• モデルは半空間 ℝ^{N−1} × (0, ∞) における移流拡散方程式を用い、対流速度は境界 z = 0 における密度のトレースに比例する。
• 簡略化モデルでは、対流速度を境界密度に等しく設定し、トレースを介した非局所的結合を生じさせる。
• より現実的なモデルでは、境界における分子コンテンツの動的交換を組み込み、フラックスバランスを許容する境界条件を修正する。
• 1次元の場合に、質量が臨界閾値未満のとき、相対エントロピー技法を用いて平衡への定量的収束を証明する。
• 高次元における安定性および爆発の可能性を分析するために、ヒルベルト変換を含む関数不等式が用いられる。
• エネルギーおよびモーメント法を用いて2次のモーメントの微分不等式を導出し、初期質量およびモーメントに基づく爆発基準を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元における非局所モデルが有限時間内に爆発を示す条件は何か？ これは分子マーカーの全質量にどのように依存するか？
• RQ2 動的境界交換を組み込んだモデルは爆発を防ぎ、非自明な定常状態への収束をもたらすか？
• RQ3 高次元におけるモデルの挙動は、次元を2倍にした古典的ケラー＝セーゲル系とどのように比較できるか？
• RQ4 ヒルベルト変換が高次元モデルにおける横方向不安定性および対称性の破れを生成する役割は何か？
• RQ5 相対エントロピー推定が、臨界未満の領域における定量的収束速度をどの程度正確に提供するか？

主な発見

• 1次元では、簡略化モデルの解は全質量 M が1を超えると有限時間内で爆発するが、M < 1 の場合は解が0に収束する。
• M < 1 の場合、相対エントロピー法を用いて得られた定量的レートで解は0に収束する。
• 高次元では、初期の2次のモーメントが十分に小さく、かつ質量が臨界閾値を超えると爆発が生じる。これは2N次元におけるケラー＝セーゲル系と類似する。
• 動的境界交換を組み込んだ修正モデルでは爆発が防がれ、非自明な定常配置への収束が保証される。
• 2次のモーメント I(t) は、I(0) が M^{(N+1)/(N−1)} の定数倍以下に上界をもつとき、有限時間内に爆発を引き起こす微分不等式を満たす。
• 境界対流をヒルベルト変換で記述するモデルは、対称性の破れを引き起こす不安定性を生成すると予想されるが、線形解析を超えた点では未解決の問題のままである。