[論文レビュー] Analysis of a space--time hybridizable discontinuous Galerkin method for the advection--diffusion problem on time-dependent domains

Keegan L. A. Kirk, Tamás Horváth+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する領域における移流拡散方程式に対する空間–時間ハイブリッド不連続ガレルキン（HDG）法の最初の解析を提示する。移動メッシュに特化した異方的トレースおよび逆不等式を導入することで、メッシュに依存するノルムにおける適切な定式化と最適順序の事前誤差推定値を証明した。数値的検証により、多様な多項式次数において理論的予測と一致する収束率が得られた。

ABSTRACT

This paper presents the first analysis of a space--time hybridizable discontinuous Galerkin method for the advection--diffusion problem on time-dependent domains. The analysis is based on non-standard local trace and inverse inequalities that are anisotropic in the spatial and time steps. We prove well-posedness of the discrete problem and provide a priori error estimates in a mesh-dependent norm. Convergence theory is validated by a numerical example solving the advection--diffusion problem on a time-dependent domain for approximations of various polynomial degree.

研究の動機と目的

• 時間に依存する領域における移流拡散方程式に対する空間–時間HDG法の開発と解析を行う。標準的な解析がメッシュの運動によって複雑化される点を考慮する。
• 移動領域問題において幾何学的保存則（GCL）を維持する課題に対処する。これは、空間–時間DG法によって本質的に満たされる。
• 静的縮約を用いて自由度を削減しながら高次精度を保持するように、HDGフレームワークを移動グリッド上の空間–時間定式化に拡張する。
• 空間的および時間的非一様離散化を考慮したメッシュに依存するノルムにおける事前誤差推定値を導出する。

提案手法

• 空間–時間領域 E ⊂ Rd+1 において移流拡散問題を定式化し、時間は空間と同様に座標として扱う。
• 空間および時間の両方で不連続ガレルキン近似を用いた空間–時間HDG法を導入し、要素界面におけるハイブリッド化された自由度を定義する。
• 数値フラックスおよび近似トレースを含む弱形式を定義し、ハイブリッド化された未知数を用いて法線フラックスの連続性を強制する。
• 移動要素に適応した、空間メッシュサイズ hK および時間ステップ ∆t に依存する、新しい異方的トレースおよび逆不等式を導入する。
• 静的縮約を適用して、グローバルシステムをハイブリッド化されたトレース自由度のみに縮小し、計算コストを顕著に削減する。
• 補間誤差評価と双線形形式の安定性および一貫性解析を組み合わせることで、メッシュに依存するノルムにおける誤差境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な空間–時間ツールがテンソル積構造を持たないために失敗する時間に依存する領域における移流拡散方程式に対して、空間–時間HDG法を厳密に解析可能か？
• RQ2 移動メッシュ上での空間的および時間的離散化の非一様結合を扱うために、どのような異方的逆不等式およびトレース不等式が必要か？
• RQ3 提案された空間–時間HDG法は、任意のメッシュ運動に対しても空間および時間において最適収束率を維持するか？
• RQ4 実際の計算ではどのように性能を発揮するか？また、数値的収束率は理論的予測と一致するか？

主な発見

• 空間–時間HDG法は適切に定義されており、適切な仮定の下で双線形形式が下からの有界性（inf–sup条件）を満たす。
• メッシュに依存するノルムにおける最適順序の事前誤差推定値が導出され、解およびその勾配の収束率が O(h^{2p_s} + ∆t^{2p_t+1}) であることが示された。
• 移流優勢ケース（ν = 10^{-6}）では、|||·|||_s ノルムにおいて p + 1/2 の超収束率を達成し、標準的な収束率を上回った。
• 数値結果により理論的収束率が確認された：ν = 10^{-2} の場合、収束率はおおよそ p であり、ν = 10^{-6} の場合、収束率は p + 1/2 であった。多項式次数 p = 1, 2, 3 において一貫した結果が得られた。
• 不規則で時間に依存するメッシュ上でも、高次精度と安定性を維持し、回転するガウスパルスを正確に追跡した。
• 異方的トレースおよび逆不等式を導入することで、一般の移動領域への解析を拡張し、厳密な誤差制御を可能にした。