[論文レビュー] Analysis of phase transitions in the mean-field Blume-Emery-Griffiths model

R. S. Ellis, P. Otto+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2004

Theoretical and Computational Physics被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、大偏差原理および正準・マイクロ正準系を得る手法を用いて、平均場的ブーム・エメリー・グリフィスモデルにおける相転移の厳密な解析を提供する。平衡マクロ状態の分岐現象を分析することで、2次相転移（連続的）および1次相転移（不連続的）の両方の存在を確立し、変化する熱力学的パラメータ下でのスケーリングされた全スピンの中心極限定理および非中心極限定理を証明した。臨界領域および非臨界領域における正確なスケーリング指数と極限密度が導出された。

ABSTRACT

In this paper we give a complete analysis of the phase transitions in the mean-field Blume-Emery-Griffiths lattice-spin model with respect to the canonical ensemble, showing both a second-order, continuous phase transition and a first-order, discontinuous phase transition for appropriate values of the thermodynamic parameters that define the model. These phase transitions are analyzed both in terms of the empirical measure and the spin per site by studying bifurcation phenomena of the corresponding sets of canonical equilibrium macrostates, which are defined via large deviation principles. Analogous phase transitions with respect to the microcanonical ensemble are also studied via a combination of rigorous analysis and numerical calculations. Finally, probabilistic limit theorems for appropriately scaled values of the total spin are proved with respect to the canonical ensemble. These limit theorems include both central-limit-type theorems when the thermodynamic parameters are not equal to critical values and non-central-limit-type theorems when these parameters equal critical values.

研究の動機と目的

• 大偏差原理および平衡マクロ状態を用いて、平均場的ブーム・エメリー・グリフィススモデルにおける相転移を厳密に分析すること。
• 最小化測度の分岐解析を通じて、正準およびマイクロ正準平衡マクロ状態の構造を特徴づけること。
• 固定された逆温度 $\beta$ における結合パラメータ $K$ を変化させることで、2次相転移および1次相転移の両方の存在を確立すること。
• 正準集合における全スピン $S_n$ における極限定理を導出し、臨界および非臨界パラメータにおける中心極限定理型および非中心極限定理型の振る舞いを明らかにすること。
• 従来の非厳密な結果を拡張し、数値的および解析的手段を用いて、本モデルにおける非等価なマイクロ正準および正準系の存在を証明すること。

提案手法

• 非相互作用エネルギーを事前測度に組み込むことで、2次元正準最小化問題を1次元問題に還元し、$\beta$-依存的な1スイト測度を有するキュリー＝ヴァイス型モデルによる解析を可能にした。
• 大偏差原理を用いて、レート関数 $G_{\beta,K}(z)$ の最小化子として平衡マクロ状態を定義し、最小化子の集合における分岐によって相転移を同定した。
• 最小化点のタイプ $r$（例：$r=1,2,3$）の分析により、全スピン $S_n$ の適切なスケーリング $n^{1-1/2r}$ を特定した。
• $G_{\beta,K}$ および $c_\beta$ の2階微分を用いて中心極限定理における分散 $\sigma^2$ を導出し、$\sigma^2 = \frac{2\beta K c_\beta''(0)}{G_{\beta,K}''(0)}$ と表した。
• 正準系と類似した手法を用いてマイクロ正準平衡マクロ状態の数値的分析を実施したが、この系に対する完全な解析的証明は未だ存在しない。
• 複数のグローバル最小値が存在する場合の条件付き極限定理を導出し、各最小化子 $z_j$ の周囲でスケーリングされたスピンをセンターさせた際の極限正規分布の分散 $\sigma_j^2$ を $\sigma_j^2 = \frac{2\beta K c_\beta''(2\beta K z_j)}{G_{\beta,K}''(z_j)}$ で定義した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均場的ブーム・エメリー・グリフィススモデルが2次相転移を示す条件は何か？
• RQ2 モデルが1次相転移を示すのはいつで、その構造的特徴は平衡マクロ状態にどのように反映されるか？
• RQ3 パrameter $K$ および $\beta$ の臨界値において、全スピン $S_n$ のスケーリング則および極限分布はどのように変化するか？
• RQ4 本モデルにおける正準系とマイクロ正準系の関係は何か？また、系の非等価性は生じるか？
• RQ5 レート関数 $G_{\beta,K}$ の最小化点のタイプ $r=1,2,3$ は、$S_n$ の極限定理の形態にどのように影響を与えるか？

主な発見

• モデルは $\beta \leq \beta_c$ かつ $K \leq K_c^{(2)}(\beta)$ のとき、$z=0$ に一意のグローバル最小値を有するタイプ $r=1$ により2次相転移を示す。
• モデルは $\beta \leq \beta_c$ かつ $K > K_c^{(2)}(\beta)$ のとき、$\pm \tilde{z}(\beta,K)$ に2つの対称的グローバル最小値を有するタイプ $r=1$ により1次相転移を示す。
• 臨界点 $\beta = \beta_c$ および $K = K_c^{(1)}(\beta)$ において、3つのグローバル最小値 $0, \pm \tilde{z}(\beta,K)$ が存在し、すべてタイプ $r=1$ である。これは三臨界点を示している。
• タイプ $r=1$ の場合、全スピン $S_n$ はスケーリング $n^{1/2}$ で中心極限定理を満たし、極限密度は $f_{0,\sigma^2}(x)$ で表され、$\sigma^2 = \frac{2\beta K c_\beta''(0)}{G_{\beta,K}''(0)}$ である。
• タイプ $r=2$ や $r=3$ の場合、スケーリングはそれぞれ $n^{3/4}$ および $n^{5/6}$ であり、極限密度は $\exp[-\text{const} \cdot x^{2r}]$ に比例する。臨界点における $G_{\beta,K}^{(4)}(0)$ および $G_{\beta,K}^{(6)}(0)$ の明示的表現が得られた。
• 条件付き極限定理により、複数の最小値が存在する場合、$S_n$ を各 $z_j$ の周囲でセンターさせると、弱収束により正規分布に収束し、分散は $\sigma_j^2 = \frac{2\beta K c_\beta''(2\beta K z_j)}{G_{\beta,K}''(z_j)}$ で与えられる。これは、相転移共存領域近傍における準安定状態の存在を確認している。