[論文レビュー] Analysis of random walks in dynamic random environments via $L^2$-perturbations

Luca Avena, Oriane Blondel+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{Z}^d$ 上の動的確率的環境におけるランダムウォークを分析するための$L^2$-摂動枠組みを構築する。環境は定常分布$\mu$をもつマルコフ過程によって変化し、$\mu$はポアンカーレ不等式を満たす。平均法則、平均化された不変原理、漸近的スピードの級数展開を確立し、適切な条件下で拡散行列の非退化を示す。これは、半群摂動のダイソン＝フィリップス展開を用いる。

ABSTRACT

We consider random walks in dynamic random environments given by Markovian dynamics on $\mathbb{Z}^d$. We assume that the environment has a stationary distribution $μ$ and satisfies the Poincaré inequality w.r.t. $μ$. The random walk is a perturbation of another random walk (called "unperturbed"). We assume that also the environment viewed from the unperturbed random walk has stationary distribution $μ$. Both perturbed and unperturbed random walks can depend heavily on the environment and are not assumed to be finite-range. We derive a law of large numbers, an averaged invariance principle for the position of the walker and a series expansion for the asymptotic speed. We also provide a condition for non-degeneracy of the diffusion, and describe in some details equilibrium and convergence properties of the environment seen by the walker. All these results are based on a more general perturbative analysis of operators that we derive in the context of $L^2$-bounded perturbations of Markov processes by means of the so-called Dyson-Phillips expansion.

研究の動機と目的

• 環境が定常分布$\mu$をもつマルコフ過程として変化する動的確率的環境におけるランダムウォークの長期的挙動を分析すること。
• 有限範囲のジャンプを仮定しないで、ウォークと環境の強い依存性を許容しつつ、既存の不変原理および漸近的スピードに関する結果を拡張すること。
• walker から見た環境に対する厳密な摂動枠組みを確立すること。これには不変測度の性質と平衡への収束が含まれる。
• 漸近的スピードの級数展開を導出し、平均化された不変原理における非退化拡散の条件を特定すること。
• ポアンカーレ不等式の下で、マルコフ過程の$L^2$-有界摂動理論に於いてダイソン＝フィリップス展開を一般化すること。

提案手法

• 著者たちは、環境のマルコフ過程の生成作用素の$L^2(\mu)$-有界摂動を用いて、摂動されたランダムウォークをモデル化する。
• ダイソン＝フィリップス展開を適用し、摂動された半群および walker から見た環境の不変測度の級数表現を導出する。
• 測度$\mu$に関するポアンカーレ不等式により、指数的$L^2$-混合が保証され、収束性およびエルゴード性の結果が得られる。
• 摂動された環境の不変分布が、$\mu$に対して絶対連続であり、摂動のべき級数としての密度展開を持つことが示される。
• この手法は、スペクトル論および半群論に依拠しており、半群の強連続性と双対性の議論が含まれる。
• 主要な推定はグローヴァルの不等式および$L^2$-ノルムの制御を用いて得られ、摂動級数の安定性と収束性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動されたランダムウォークから見た環境が、$\mu$に対して絶対連続な唯一の不変分布をもつための条件は何か？
• RQ2 ランダムウォークの漸近的スピードは何か？ そして、摂動の強さに関する収束級数として展開可能か？
• RQ3 摂動されたランダムウォークは平均化された不変原理を満たすか？ また、非退化拡散を保証する条件は何か？
• RQ4 walker から見た環境の不変測度の密度は摂動によってどのように変化するか？ また、原点付近に局在化するか？
• RQ5 $L^2$-有界摂動の下で、ダイソン＝フィリップス展開を用いて摂動過程の収束速度およびエルゴード性の性質を導出可能か？

主な発見

• 摂動されたランダムウォークから見た環境は、$\mu$に対して絶対連続である唯一の不変分布$\mu_\varepsilon$をもつ。その密度は摂動のべき級数として収束級数に展開可能である。
• $L^2$-有界摂動の仮定の下で、摂動された半群は$L^2(\mu)$で指数的速さで平衡に収束し、収束レートはポアンカーレ定数$\gamma$によって制御される。
• ランダムウォークに対して平均法則が成り立ち、漸近的速度は摂動パラメータの級数として表現可能である。
• ウォークの位置に対して平均化された不変原理が確立され、摂動に関する適切な非退化条件の下で拡散行列は非退化である。
• 不変測度$\mu_\varepsilon$の密度は原点付近に鋭く局在化しており、摂動が環境の空間的局所的変化しか引き起こさないことを示している。
• ダイソン＝フィリップス展開により、摂動された半群および不変密度の収束級数が得られ、$L^2$-ノルム推定に基づく明示的な誤差評価が導出された。