[論文レビュー] Analysis of Reaction Network Systems Using Tropical Geometry

Satya Swarup Samal, Dima Grigoriev+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2015

Polynomial and algebraic computation参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項式または有理関数型の速度則を有する反応ネットワーク系を、トロピカル幾何学に基づく手法で分析する。この手法は、微分方程式における相反する符号の支配的単項式が釣り合う「トロピカル平衡」を同定することで、反応系の動的挙動を解明する。このアプローチでは、これらの平衡を「分岐」にグループ化し、最小分岐が最も単純な準安定状態を表す。最小分岐同士の接続性を計算することで、可能な動的遷移を推定し、モデルの簡略化や遅い変数の同定を可能にする。ヒートマップとグラフ構造を用いて可視化される。

ABSTRACT

We discuss a novel analysis method for reaction network systems with polynomial or rational rate functions. This method is based on computing tropical equilibrations defined by the equality of at least two dominant monomials of opposite signs in the differential equations of each dynamic variable. In algebraic geometry, the tropical equilibration problem is tantamount to finding tropical prevarieties, that are finite intersections of tropical hypersurfaces. Tropical equilibrations with the same set of dominant monomials define a branch or equivalence class. Minimal branches are particularly interesting as they describe the simplest states of the reaction network. We provide a method to compute the number of minimal branches and to find representative tropical equilibrations for each branch.

研究の動機と目的

• 多項式または有理関数型の速度関数を有する複雑な反応ネットワーク系を分析するための新規手法を開発すること。
• 相反する符号の支配的単項式のバランスに基づくトロピカル平衡を用いて、反応ネットワーク内の準安定状態を同定すること。
• トロピカル平衡を、共有される支配的単項式集合に基づいて分岐にグループ化し、最小分岐が最も単純な動的状態を表すようにすること。
• 最小分岐同士の接続性を計算し、準安定状態間の可能な遷移を推定すること。
• Biomodelsデータベースに登録された実際の生化学的モデルにこの手法を適用し、妥当性の検証とモデル簡略化の洞察を得ること。

提案手法

• 質量作用速度則を用いて反応ネットワークを定式化し、多項式または有理関数型の速度関数を導入する。
• 小パラメータ ε を用いたスケーリングを導入し、種の濃度のオーダーを指定することで、漸近的解析を可能にする。
• 各種の微分方程式において、相反する符号の支配的単項式が等しくなることを、トロピカル平衡と定義する。
• 解集合を表すために、トロピカル超曲面の有限個の共通部分集合であるトロピカル前代数的集合を構築する。
• 共有される支配的単項式集合に基づいて、平衡を分岐にグループ化し、最小分岐は既約成分を表す。
• 包含関係と接続性関係をそれぞれ有向グラフと無向グラフで表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式ダイナミクスを有する反応ネットワークに対して、トロピカル平衡を体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 トロピカル平衡の解空間の構造は何か？ そして、意味のある分岐にどのように分解できるか？
• RQ3 最小分岐は、生化学的系における不変多様体と遅い変数にどのように関係するか？
• RQ4 最小分岐の接続性は、準安定状態間の可能な動的遷移をどのように示唆するか？
• RQ5 この手法は、Biomodelsデータベースに登録された実世界の生化学的モデルに効果的に適用可能か？

主な発見

• Biomodelsデータベースのモデルにおいて、ε = 1/5 のとき、最小分岐の数は1から17まで変動した。一方、妥当な解系の総数は最大で9,847に達した。
• 最小分岐数と妥当な解系総数の比は常に低く、最小分岐が解のうち疎らではあるが構造的に重要なサブセットを表していることを示している。
• スケーリングされたオーダー (μi − ai) のヒートマップは、種が速い・遅いダイナミクスに自然にクラスタリングされることを示し、モデル簡略化における遅い変数としての有効性を支持している。
• テストした全モデル（BIOMD0000000035, 0000000072）において、最小分岐グラフに1つの連結成分しか存在しなかった。これは、準安定状態間の遷移に1本の主要な経路が存在することを示唆している。
• 分岐間の包含関係を表す有向グラフは、複雑な階層的構造を示しており、さまざまな平衡解の間の複雑な関係を示している。
• この手法は、トロピカル平衡を介して不変多様体の候補を効果的に同定でき、最小分岐が最小不変多様体に対応する可能性があることが示唆された。これは今後の研究の仮説である。