[論文レビュー] Analytic cyclic cohomology

Ralf Meyer|ArXiv.org|Jun 29, 1999

Advanced Operator Algebra Research被引用数 50

ひとこと要約

本稿は、完全な生来的可換代数を用いた解析的循環コホモロジーの新しい枠組みを導入し、任意の和分条件を課さずに、Fredholmモジュールに対するChern-Connes字を構成可能にする。整全体的コホモロジーにおける除去性を証明し、コホモロジーの無限次元的寄与を扱えるようにする、コチェインにおける整全体的成長条件を用いた整全体的コホモロジーのバリエーションを確立する。

ABSTRACT

We prove excision in entire and periodic cyclic cohomology and construct a Chern-Connes character for Fredholm modules over a C*-algebra without summability restrictions, taking values in a variant of Connes's entire cyclic cohomology. Before these results can be obtained, we have to sort out some fundamental questions about the class of algebras on which to define entire cyclic cohomology. The right domain of definition for entire cyclic cohomology is the category of complete bornological algebras. For these algebras, we define a bivariant cohomology theory, called analytic cyclic cohomology, that contains Connes's entire cyclic cohomology as a special case. The definition of analytic cyclic cohomology is based on the Cuntz-Quillen approach to cyclic cohomology theories using tensor algebras and X-complexes. The appropriate completion of the tensor algebra that yields analytic cyclic cohomology can be understood using an appropriate notion of analytic nilpotence. In addition, we develop the elementary theory of analytic cyclic cohomology (smooth homotopy invariance, stability, Chern character in K-theory).

研究の動機と目的

• Fredholmモジュールに対するChern-Connes字を、有限和分性またはθ-和分性の条件なしに拡張すること。
• 有界線形セクションを持つ代数に対して、整全体的コホモロジーにおける除去性を確立すること。
• 有界またはコンパクト集合上でコチェインに整全体的成長条件を課えることで、整全体的コホモロジーのバリエーションを定義すること。
• 生来的テンソル代数とX複体を用いて、周期的および解析的循環コホモロジーのホモロジー的枠組みを提供すること。
• Goodwillieの定理と、解析的設定における循環コホモロジーのホモトピー不変性を一般化すること。

提案手法

• 完全な生来的ベクトル空間を用いて、解析的テンソル代数と解析的に零冪な代数を定義する。
• 解析的テンソル代数 T(A) のX複体を構成し、解析的循環コホモロジーを関手的に定義する。
• 生来的収束性と完成化テンソル積を適用して、作用素の有界性と連続性を保証する。
• X複体の境界 ∂ および作用素 P, H, κ を導入し、Hochschild複体を分解して循環構造を定義する。
• 多項式的構成 f_n(κ²) および g_n(κ²) を用いて、有界な射影およびホモトピーを定義し、解析的生来的位相のもとで有界性を保証する。
• 作用素の等有界族とスペクトル推定を用いて、P および H を完成化された解析的加群 Ω_an A に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 和分条件なしに、すべてのFredholmモジュールに対してChern-Connes字を定義できるか？
• RQ2 有界線形セクションを持つ拡大に対して、整全体的コホモロジーにおける除去性は成立するか？
• RQ3 無限次元的寄与を含めるために、整全体的コホモロジーをどのように一般化できるか？
• RQ4 生来的構造は、解析的循環コホモロジーを定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 X複体上の作用素 P および H は、Karoubi作用素およびHodgeフィルトレーションとどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、和分条件なしに、Fredholmモジュールに対するK-ホモロジーにおけるChern-Connes字を構成し、古典理論を拡張する。
• 有界線形セクションを持つ拡大に対して、整全体的コホモロジーにおける除去性が証明され、六項完全列が得られる。
• 有界またはコンパクト部分集合でのみ整全体的成長条件を要求する、整全体的コホモロジーのバリエーションが定義され、古典的定義よりも多くのコチェインが得られる。
• X複体上の作用素 P および H は、解析的生来的位相に関して有界であり、完成化された解析的加群 Ω_an A への拡張が可能である。
• X複体の境界 ∂ を P の像に制限すると、Karoubi作用素 δ と一致し、循環構造と整合性が確認される。
• T(A) のX複体が解析的循環コホモロジーを計算することを示し、絶対連続的ホモトピーを用いてそのホモトピー不変性が確立される。