[論文レビュー] Analytic residue theory in the non-complete intersection case

Carlos A. Berenstein, Alain Yger|ArXiv.org|May 10, 1999

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、複素解析における完全交差から非完全交差の場合への解析的留数理論の拡張を試み、留数コホロジーを用いて、n個の変数におけるn個の多項式のゼロ集合がn個未満の多項式によって定義されるとき、そのヤコビアンがそれらの多項式によって生成されるイデアルに属することを証明する。この手法により、新しい代数的結果が得られ、射影空間内の有効サイクルに対するグリーンコホロジーの洞察が得られる。

ABSTRACT

In previous work of the authors and their collaborators (see Progress in Math, vol. 114, Birkäuser, 1993) it was shown how the equivalence of several constructions of residue currents associated to complete intersection families of (germs of) holomorphic functions in ${\bf C}^n$ could be profitably used to solve algebraic problems like effective versions of the Nullstellensatz. In this work we explain how an application of similar ideas in the non-complete intersection case leads to a remarkable algebraic result, namely: Let $P_1,...,P_n$ be $n$ polynomials in $n$ variables such that the zero set of $P_1,...,P_n$ can be defined as the zero set of $P_1,...,P_ν$, with $ν< n$. Then, the Jacobian $J(P_1,...,P_n)$ of $(P_1,...,P_n)$ is in the ideal generated by the $P_j$, $j=1,...,n$. The same methods lead to further insights into the construction of Green currents associated to effective cycles in projective space.

研究の動機と目的

• 複素解析における完全交差の設定を超えた解析的留数理論の一般化を図ること。
• ゼロ集合のコドメインが定義関数の数より小さい場合における留数コホロジーの代数的意味を明らかにすること。
• ヤコビアン行列式がイデアルに属するという新しい代数的結果を確立すること。
• 射影空間内の有効サイクルに対する留数コホロジーとグリーンコホロジーの関係を探索すること。
• 非完全交差の場合におけるニルストレンザトの定理のバージョンを含む代数的問題に対する有効な手法を提供すること。

提案手法

• 完全交差理論における留数コホロジーの構成を非完全交差設定に適応すること。
• C^n 内の正則関数族に対して、解析的 torsion および留数理論の技法を適用すること。
• 非完全交差の場合におけるヤコビアン行列式の構造を、主要な不変量として用いること。
• さまざまな留数コホロジー構成の同値性を活用し、代数的帰結を導出すること。
• 留数法を用いて、射影空間内の有効サイクルに関連するグリーンコホロジーを構成するフレームワークを導入すること。
• ホモロジー代数および複素解析的道具を用いて、ヤコビアンのイデアルに属する性質を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素幾何における留数理論は、非完全交差の場合にどのように拡張可能か？
• RQ2 n個の変数におけるn個の多項式のゼロ集合がn個未満の多項式によって定義される場合、どのような代数的帰結が生じるか？
• RQ3 n個の多項式のヤコビアン行列式がそれらの多項式によって生成されるイデアルに属するための条件は何か？
• RQ4 有効サイクルに対する留数コホロジーとグリーンコホロジーの関係は何か？
• RQ5 解析的留数法は、非完全交差設定においてニルストレンザトの定理の有効版を導くことができるか？

主な発見

• n個の変数におけるn個の多項式 P₁,…,Pₙ のヤコビアン行列式 J(P₁,…,Pₙ) は、Pⱼ のゼロ集合が P₁,…,Pᵥ で定義され、ν < n である限り、それらの多項式によって生成されるイデアルに属する。
• この手法により、完全交差でない場合へのヤコビアンの新しい代数的特徴づけが得られ、古典的結果が非完全交差に拡張される。
• 留数コホロジー技法により、有効な境界が得られ、有効ニルストレンザトの結果に類似した代数的問題に対する有効な結果が得られる。
• 射影空間内の有効サイクルに対するグリーンコホロジーの構成が、解析的留数理論を用いて一般化される。
• さまざまな留数コホロジー構成の同値性が、完全交差の範囲を超えて保持され、拡張される。
• フレームワークにより、特異的または非横断的状況においても、複素解析的手段を用いて代数的恒等式を導出可能となる。