[論文レビュー] Analytic Solution of the Electromagnetic Eigenvalues Problem in a Cylindrical Resonator

Mattia Checchin, Martina Martinello|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Induction Heating and Inverter Technology被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、変数分離法とベッセル関数を用いて、円筒共振器内の電磁界固有モードの完全な解析的解を提示する。TMおよびTEモードの全電場分布を導出し、軸方向電場を持つことから粒子加速に最適な基底モードとしてTM₀₁₀モードを特定した。共振周波数は、半径方向、方位角方向、軸方向のモード指数によって量子化される。

ABSTRACT

Resonant accelerating cavities are key components in modern particles accelerating facilities. These take advantage of electromagnetic fields resonating at microwave frequencies to accelerate charged particles. Particles gain finite energy at each passage through a cavity if in phase with the resonating field, reaching energies even of the order of $TeV$ when a cascade of accelerating resonators are present. In order to understand how a resonant accelerating cavity transfers energy to charged particles, it is important to determine how the electromagnetic modes are exited into such resonators. In this paper we present a complete analytical calculation of the resonating fields for a simple cylindrical-shaped cavity.

研究の動機と目的

• 真空中に満たされた完全導体で囲まれた円筒キャビティ内の電磁界固有モードの完全な解析的解を導出すること。
• 円筒座標系における変数分離法を用いて、TMおよびTEモードの電場分布と共振周波数を特定すること。
• ρ、φ、z方向における電場および磁場の空間的振動を特徴付けるモード指数n、l、mの役割を定量化すること。
• 軸方向電場が非ゼロであることから、TM₀₁₀モードが粒子加速に最も適していることを特定すること。
• TMおよびTEモードのすべての電場成分について、キャビティの幾何形状およびモード指数に依存する明示的解析式を提供すること。

提案手法

• 時空間調和形 e^±iωt を仮定し、円筒座標系における波動方程式を変数分離法で解いた。
• 電場と磁場を横方向成分（Eₜ, E_z, Hₜ, H_z）に分解し、周波数領域におけるマクスウェル方程式を適用した。
• コアとなる固有値問題として、ヘルムホルツ方程式 ∇ₜ²u + β²u = 0 を用い、β² = (ω/c)² - κ² とした。
• 径方向成分をベッセル関数 Jₙ(αₙₗρ/a) を用いて解き、αₙₗ はベッセル関数 J′ₙ(x) のゼロ点とした。
• キャビティの壁（ρ = a）における境界条件を適用し、モード指数と電場の正規化を決定した。
• E_z または H_z 成分の有無に基づき、モードを TMₙₗₘ または TEₙₗₘ に分類し、すべての電場成分の明示的表現を導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円筒キャビティ共振器内の電磁界成分の完全な解析的表現は何か？
• RQ2 モード指数n、l、mは、ρ、φ、z方向における電場および磁場の空間的振動をどのように量子化するか？
• RQ3 円筒キャビティ内の特定のTMまたはTEモードの共振周波数は、何によって決定されるか？
• RQ4 なぜTM₀₁₀モードは現代の加速器における粒子加速に特に適しているのか？
• RQ5 TMモードとTEモードの電場分布は、対称性および軸方向挙動においてどのように異なるか？

主な発見

• TM₀₁₀モードの基底共振周波数は ω₁₁₁ = c√[(1.8412/a)² + π²/h²] であり、1.8412 は J′₁(x) の最初のゼロ点である。
• TM₀₁₀モードは軸方向電場（ρ = 0 における E_z ≠ 0）を有するため、キャビティ軸に沿った粒子加速に最適である。
• TE₁₁₁モードは、軸方向磁場（ρ = 0 における H_z ≠ 0）を有するため、ビームの横方向制御が可能である。
• E_ρ、E_φ、E_z、H_ρ、H_φ、H_z のすべての電場成分が、ベッセル関数、モード指数、キャビティの幾何形状に依存する形で明示的に導出された。
• モード指数n、l、mは、それぞれφ、ρ、z方向における電場の符号変化回数に対応する。
• 解は、TMₙₗₘモードが加速に最も適していること、一方TEₙₗₘモードは粒子ビームの横方向操作に用いられることを確認した。