[論文レビュー] Analytical and numerical modeling of front propagation and interaction of fronts in nonlinear thermoviscous fluids including dissipation

A. Rasmussen, Mads Peter Sørensen+2 more|ArXiv.org|Jun 2, 2008

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、2次非線形項を含む流体力学的方程式から導かれた、熱粘性流体における有限振幅音響乱れのハミルトニアン保存型非線形波動方程式を提案する。一般化された移動波仮定を用いて、正確な移動波前解を導出し、前方の流体に対して超音速で、後方の流体に対して亜音速で振る舞う衝撃波に類似した性質を示す。線形解析および頭上衝突の数値シミュレーションにより安定性を検証し、衝突後に速度が変化した新たな波前が生成されることを示した。

ABSTRACT

A wave equation, that governs finite amplitude acoustic disturbances in a thermoviscous Newtonian fluid, and includes nonlinear terms up to second order, is proposed. In contrast to the model known as the Kuznetsov equation, the proposed nonlinear wave equation preserves the Hamiltonian structure of the fundamental fluid dynamical equations in the non-dissipative limit. An exact traveling front solution is obtained from a generalized traveling wave assumption. This solution is, in an overall sense, equivalent to the Taylor shock solution of the Burgers equation. However, in contrast to the Burgers equation, the model equation considered here is capable to describe waves propagating in opposite directions. Owing to the Hamiltonian structure of the proposed model equation, the front solution is in agreement with the classical Rankine-Hugoniot relations. The exact front solution propagates at supersonic speed with respect to the fluid ahead of it, and subsonic speed with respect to the fluid behind it, similarly to the fluid dynamical shock. Linear stability analysis reveals that the front is stable when the acoustic pressure belongs to a critical interval, and is otherwise unstable. These results are verified numerically. Studies of head-on colliding fronts demonstrate that the front propagation speed changes upon collision.

研究の動機と目的

• 非散乱極限においてハミルトニアン構造を保存する、熱粘性流体における有限振幅音響乱れの非線形波動方程式の構築を目的とする。
• 標準的な移動波手法を拡張する一般化された移動波仮定を用いて、正確な移動波前解を導出することを目的とする。
• 正確な波前解と古典的衝撃波力学との間の関係をランキン＝ユゴニオ関係を用いて確立することを目的とする。
• 線形安定性解析および数値的検証を通じて、波前解の安定性を調査することを目的とする。
• 互いに逆向きに進行する波前の相互作用を研究し、衝突後の波前伝搬速度を特定することを目的とする。

提案手法

• ナビエ＝ストークス方程式、連続の式、エネルギー保存則、状態方程式から出発し、2次までの非線形項を保持する2次非線形波動方程式を導出する。
• 平衡状態の小領域の摂動を導入し、速度ポテンシャル以外のすべての変数を消去することで、単一の非線形波動方程式を得る。
• 速度ポテンシャルの偏導関数に2つの任意定数を加える一般化された移動波仮定を適用し、より広いクラスの正確解を可能にする。
• 波前解の漸近的尾部に対する線形安定性解析を実施し、時間微分（音圧に比例）に基づいて安定性条件を特定する。
• 正確な波前を初期条件として用いた数値シミュレーションを実施し、安定性の検証および波前の頭上衝突の解析を実施する。
• 結果をクズネツォフ方程式と比較し、唯一提案されたハミルトニアンモデルがランキン＝ユゴニオ関係を満たしていることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非散乱極限においてハミルトニアン構造を保存する、熱粘性流体の非線形波動方程式を定式化できるか？
• RQ2 一般化された移動波仮定は、古典的衝撃波挙動と整合する正確な波前解を生成するか？
• RQ3 正確な波前解の安定性条件は何か？また、音圧にどのように依存するか？
• RQ4 2つの逆向きに進行する波前はどのように相互作用し、衝突後に新たな波前が生成され、その伝搬速度が元の波前と異なるか？
• RQ5 提案されたモデル方程式はランキン＝ユゴニオ関係を満たすが、クズネツォフ方程式とは異なり、その整合性は保たれるか？

主な発見

• 提案された非線形波動方程式は、非散乱極限においてハミルトニアン構造を保存するが、クズネツォフ方程式とは異なり、そのようにはならない。
• 正確な波前解は、前方の流体に対して超音速で、後方の流体に対して亜音速で伝搬する。これは古典的衝撃波挙動と類似している。
• 線形安定性解析により、速度ポテンシャルの時間微分（音圧に比例）が臨界区間内にある場合に波前は安定であることが判明した。
• 数値的シミュレーションにより、安定性予測が確認され、安定性区間内にあれば、摂動に対しても波前形状が維持されることを示した。
• 2つの波前が頭上衝突すると、元の波前とは異なる伝搬速度を持つ2つの新しい波前が生成され、衝突前のパラメータからその速度を予測可能である。
• ハミルトニアンモデルにおける波前伝搬速度を記述する3次方程式はランキン＝ユゴニオ関係と等価であるが、クズネツォフ方程式ではその等価性は成立しない。