[논문 리뷰] Analytical expressions of copositivity for 4th order symmetric tensors and applications

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 02.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 41인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 4차 대칭 텐서의 공포성 및 양의 정부호성에 대한 분석적 필요 및 충분 조건을 유도하며, 주로 2차원 및 3차원 경우에 초점을 맞춘다. 이는 입자물리학에서 스칼라 장의 잠재력의 진공 안정성 검증을 가능하게 하는 명시적이고 폐형의 기준을 제공한다. 특히 두 개의 실수 스칼라 장과 힉스 보손의 경우에 대해, NP-난해한 다항식의 음이 아닌 성질을 검증하는 것과는 대비하여 수학적으로 엄밀하고 계산적으로 실현 가능한 대안을 제공한다.

ABSTRACT

In particle physics, scalar potentials have to be bounded from below in order for the physics to make sense. The precise expressions of checking lower bound of scalar potentials are essential, which is an analytical expression of checking copositivity and positive definiteness of tensors given by such scalar potentials. Because the tensors given by general scalar potential are 4th order and symmetric, our work mainly focuses on finding precise expressions to test copositivity and positive definiteness of 4th order tensors in this paper. First of all, an analytically sufficient and necessary condition of positive definiteness is provided for 4th order 2 dimensional symmetric tensors. For 4th order 3 dimensional symmetric tensors, we give two analytically sufficient conditions of (strictly) cpositivity by using proof technique of reducing orders or dimensions of such a tensor. Furthermore, an analytically sufficient and necessary condition of copositivity is showed for 4th order 2 dimensional symmetric tensors. We also give several distinctly analytically sufficient conditions of (strict) copositivity for 4th order 2 dimensional symmetric tensors. Finally, we apply these results to check lower bound of scalar potentials, and to present analytical vacuum stability conditions for potentials of two real scalar fields and the Higgs boson.

연구 동기 및 목표

• 4차 대칭 텐서의 공포성 및 양의 정부호성에 대한 분석적으로 다룰 수 있는 필요 및 충분 조건을 수립하는 것.
• 4차 이상의 동차 다항식의 음이 아닌 성질 검증이 NP-난해하므로, 이를 해결하기 위한 계산의 비현실성 문제를 다루는 것.
• 두 개의 실수 스칼라 장과 힉스 보손을 포함하는 스칼라 장 이론의 진공 안정성 조건에 대한 명시적 분석적 표현을 제공하는 것.
• 행렬에 대한 기존의 공포성 결과를 고차원 텐서, 특히 저차원에서의 4차 대칭 텐서로 확장하는 것.
• 입자물리학에서 스칼라 잠재력의 아래에서 유계임을 검증하기 위한 수학적으로 엄밀하고 계산적으로 실현 가능한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 대수적 환원과 대칭성 분석을 사용하여 4차 2차원 대칭 텐서의 양의 정부호성에 대한 분석적 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 차원 감소 및 차수 감소 기법을 적용하여 4차 3차원 대칭 텐서의 엄밀한 공포성에 대한 두 개의 충분 조건을 도출한다.
• 유도된 다변수 표현의 부호를 분석하여 4차 2차원 대칭 텐서의 공포성에 대한 분석적 필요 및 충분 조건을 수립한다.
• 스칼라 잠재력을 4차 동차 다항식으로 변환하고, 이를 텐서 곱으로 표현한다.
• 유도된 텐서 공포성 조건을 물리적 스칼라 잠재력에 적용하기 위해 결합 상수를 텐서 요소에 매핑한다.
• 기존의 물리적 진공 안정성 조건과 비교하여 결과를 검증하였으며, 동치이거나 개선된 결과를 도출하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 차원에서 4차 대칭 텐서의 양의 정부호성에 대한 분석적 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 차원 감소 기법을 사용하여 3차원에서 4차 대칭 텐서의 엄밀한 공포성에 대한 충분 조건을 도출할 수 있는가?
• RQ3 두 차원에서 4차 대칭 텐서의 공포성은 어떤 명시적 분석적 표현으로 특징지을 수 있는가?
• RQ4 이러한 텐서 공포성 조건은 입자물리학에서 스칼라 잠재력의 진공 안정성 조건을 유도하는 데 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ5 유도된 분석적 조건은 문헌에 기존 결과와 비교해 동치이거나 향상된 진공 안정성 기준을 도출하는가?

주요 결과

• 4차 2차원 대칭 텐서의 양의 정부호성에 대한 분석적 필요 및 충분 조건이 유도되었으며, 이는 텐서 요소와 그 제곱근에 의해 표현된다.
• 감소 기법을 사용하여 4차 3차원 대칭 텐서의 엄밀한 공호성에 대한 두 개의 분석적 충분 조건이 확립되었다.
• 4차 2차원 대칭 텐서의 공호성에 대한 분석적 필요 및 충분 조건이 제공되었으며, 이는 대각선 항과 비대각선 항의 조합에 제곱근 항이 포함되어 있다.
• 4차 2차원 대칭 텐서의 엄밀한 공호성에 대한 여러 개의 서로 다른 분석적 충분 조건이 구성되었으며, 각각 텐서 성분에 대한 부등식을 포함한다.
• 유도된 텐서 조건을 두 개의 실수 스칼라 장과 힉스 보존의 스칼라 잠재력에 적용하여 결합 상수에 따라 명시적인 진공 안정성 조건을 도출하였다.
• Z₃ 스칼라 어둠성 물질 모델에 대해, 4차 텐서의 엄밀한 공호성에 기반한 새로운 분석적 진공 안정성 조건을 도출하였으며, 이는 [25, 26] 및 [12]의 이전 결과와 다름을 보였다.