[論文レビュー] Analytical solution method for rheological problems of solids

Tamás Fülöp, Mátyás Szücs|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、既知の弾性解を時間に依存する関数に置き換えることで、固体内の線形粘弾性問題を解くための新規な解析的手法を提示する。この手法により、複雑な流れ体力学的問題が解ける線形常微分方程式系に還元され、トンネル、圧力容器、その他の地盤工学的状況において、正確で計算効率の高い解が得られる。

ABSTRACT

In classical continuum theory, Volterra's principle [1, 2] is a long-known method to solve linear rheological (viscoelastic) problems derived from the corresponding elastic ones. Here, we introduce and present another approach that is simpler to apply (no operator inverse is required to compute but only linear ordinary differential equations to solve). Our method starts with the known elastic solution, replaces the elasticity coefficients with time dependent functions, derives differential equations on them, and determines the solution corresponding to the initial conditions. We present several examples solved via this new method, like tunnels and spherical hollows opened in various initial stress states, and pressurizing of thick-walled tubes and spherical tanks. These examples are useful for applications and, in parallel, are suitable for testing and validating numerical methods of various kinds.

研究の動機と目的

• 逆作用素の逆算を必要としない、線形 rheological（粘弾性）問題を解くための簡略化された解析的アプローチの開発。
• 工学的および地盤工学的応用において、時間に依存する変位、ひずみ、応力場の正確な閉形式解を可能にすること。
• 有限要素解析などの数値手法の検証のためのベンチマークを提供すること。
• トンネルや圧力容器を含む、さまざまな初期応力状態および境界条件に一般化可能な手法の構築。
• 特に平面ひずみ状態において、この手法が適切に定義された微分方程式系を生成するための数学的条件の特定。

提案手法

• 均質で等方的な固体における変位、ひずみ、応力場の既知の弾性解から出発する。
• 材料定数（例：縦弾性係数、ポisson比）を、粘弾性挙動を表す時間に依存する関数に置き換える。
• これらの時間に依存する材料関数の時間発展を記述する線形常微分方程式（ODE）系を導出する。
• 弾性解から導かれる初期条件を用いて、ODE系における積分定数を特定する。
• 得られたODEを解析的に解き、時間に依存する変位、ひずみ、応力場を求める。
• トンネル、球形空洞、圧力付き厚肉シリンダーなど、さまざまな初期応力状態を想定した例を通じて、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆作用素の逆算を必要とせずに、既存の弾性解を変換することで粘弾性問題を解析的に解くことは可能か？
• RQ2 得られる微分方程式系が適切に定義され、解けるための条件は何か？
• RQ3 自己重量荷重や事前応力状態が非等方的であるようなさまざまな初期応力状態において、この手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ4 この手法は、平面ひずみ問題やその他の対称的幾何形状にどの程度一般化可能か？
• RQ5 解の球対称成分同士に自然な関係がない場合、この手法にどのような制限が生じるか？

主な発見

• トンネル、球形空洞、圧力付き容器の粘弾性問題が、弾性解を時間依存形に変換することで、成功裏に解かれた。
• Volterraの原理に比べ、作用素の逆算を回避でき、計算が著しく簡略化された。
• 平面ひずみ問題では、応力およびひずみテンソルの球対称成分同士に内在する関係のおかげで、常に適切に定義された線形ODE系が得られる。
• 実際のトンネル（例：Bátaapáti地下貯蔵所）における測定済みの変位履歴と一致する解が得られ、特徴的な緩和時間は3〜10年であった。
• 地盤工学および土木工学で一般的に見られる、静的で変形のない初期状態を有する問題に適用可能である。
• 球対称成分間にこのような関係がない場合には、手法が過剰定義（overdetermined）となる可能性があり、変分法を用いた一般化または近似型の変種の導入が求められる。