[論文レビュー] Anderson localisation in two dimensions: insights from Localisation Landscape Theory, exact diagonalisation, and time-dependent simulations

Sophie S. Shamailov, Dylan Brown+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2020

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元の不規則系におけるアンドリュー局在化を研究するための計算的に効率的で概念的に直感的な枠組みを提供するために、局在化ランドスケープ理論（LLT）を発展させた。LLTの有効ポテンシャルを用いて、局在化長を正確に計算し、正確対角化との比較で妥当性を検証した。また、局在化を検出するための時間発展シミュレーションと透過実験の提案を行い、拡張する波束がエネルギー依存の制限を除けば、局在化を効果的にプローブできることを明らかにした。

ABSTRACT

Motivated by experimental progress in cold atomic systems, we use and advance Localisation Landscape Theory (LLT), to examine two-dimensional systems with point-like random scatterers. We begin by showing that exact eigenstates cannot be efficiently used to extract the localisation length. We then provide a comprehensive review of known LLT, and confirm that the Hamiltonian with the effective potential of LLT has very similar low energy eigenstates to that with the physical potential. Next, we use LLT to compute the localisation length for very low-energy, maximally localised eigenstates and test our method against exact diagonalisation. Furthermore, we propose a transmission experiment that optimally detects Anderson localisation, and demonstrate how one may extract a length scale which is correlated with (and in general smaller than) the localisation length. In addition, we study the dimensional crossover from one to two dimensions, providing a new explanation to the established trends. The prediction of a mobility edge coming from LLT is tested by direct Schr\\"odinger time evolution and is found to be unphysical. Moreover, we investigate expanding wavepackets, to find that these can be useful in detecting and quantifying Anderson localisation in a transmission experiment, with the only disadvantage being the inability to resolve the energy dependence of the localisation length. Then, we utilise LLT to uncover a connection between the Anderson model for discrete disordered lattices and continuous two-dimensional disordered systems, which provides powerful new insights. From here, we demonstrate that localisation can be distinguished from other effects by a comparison to dynamics in an ordered potential with all other properties unchanged. Finally, we thoroughly investigate the effect of acceleration and repulsive interparticle interactions, as relevant for current experiments.

研究の動機と目的

• 超冷却原子実験と直接比較可能な、2次元系におけるアンドリュー局在化の単純で直感的かつ定量的に比較可能な記述を提供すること。
• 局在化ランドスケープ理論（LLT）が、不規則系における局在化長の計算において正確対角化よりも優れた代替手法であることを検証すること。
• 局在化を流れの速度と長さスケールの相関から検出する透過実験を提案し、その分析を行うこと。
• 1次元から2次元への次元的クロスオーバーを調査し、既知の局在化挙動の傾向を説明すること。
• 加速や粒子間反発相互作用といった現実的な実験的要因が、アンドリュー局在化の検出と定量的評価に与える影響を評価すること。

提案手法

• 物理的ハミルトニアンの低エネルギー固有状態を保持する有効ポテンシャルを、局在化ランドスケープ理論（LLT）を用いて計算する。
• 低エネルギー固有状態における局在化長のLLT予測をベンチマークおよび検証するために、正確対角化を用いる。
• 時間発展シミュレーションを実装し、拡張する波束を用いて局在化ダイナミクスをプローブし、輸送特性を抽出する。
• 区画内の状態数と流れの速度に基づく透過実験のシナリオを開発し、局在化長と相関する長さスケールを抽出する。
• ランダムな光線サンプリングとスケーリング係数（約1.84）を用いて、ランドスケープ内の谷間の平均距離を物理的距離に変換する数値手法を適用する。
• 鞍点と極大値を用いたドメインウォールの同定により、局在化特徴の統合と解析に適した領域を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局在化ランドスケープ理論（LLT）は、2次元の不規則系における低エネルギー固有状態の局在化長を正確に再現できるか？また、正確対角化と比べてどうなるか？
• RQ2 特に透過実験という実験設定において、アンドリュー局在化を最適に検出できるのはどのようなものか？また、その実験から抽出可能な測定可能な長さスケールは何か？
• RQ3 不規則ポテンシャル中での拡張する波束は、どのように局在化をプローブするものか？また、それらの制限は、局在化長のエネルギー依存性を解明する上でどのようなものか？
• RQ4 LLTは2次元系に移動性端を予測するか？この予測は、時間発展シュレーディンガー方程式のシミュレーションから物理的に妥当であるか？
• RQ5 加速や粒子間相互作用といった現実的な実験的条件は、アンドリュー局在化の検出と定量化にどのように影響を与えるか？

主な発見

• LLTの有効ポテンシャルは、物理的ポテンシャルとほぼ同一の低エネルギー固有状態を生成し、局在化長の計算にその使用が妥当であることを裏付けた。
• 最大に局在化された固有状態の局在化長を、正確対角化との比較により確認しつつ、この方法が成功裏に計算可能であることを示した。
• 区画内の状態数と流れの速度に基づく透過実験は、真の局在化長と相関するが、一般にそれより小さい長さスケールを生成した。
• 時間発展シミュレーションの結果、LLTが予測する移動性端は物理的に非現実的であることが判明し、理論のこの文脈における限界を示した。
• 拡張する波束は局在化の検出に有効であるが、それらのダイナミクスは局在化長のエネルギー依存性を解明できない。
• 約1.84のスケーリング係数を用いることで、谷間の平均距離のサンプリング結果を物理的長さスケールに変換でき、開放的ネットワークにおいても定量的解析が可能になる。