[論文レビュー] Anomalies in (2+1)D fermionic topological phases and (3+1)D path integral state sums for fermionic SPTs

Srivatsa Tata, Ryohei Kobayashi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2021

Topological Materials and Phenomena被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Z2 3形式ゲージ場を有するボソン的シャドウ理論におけるフェルミオン凝縮を用いて、(3+1)Dの組み合わせ的経路積分状態和をフェルミオン的対称性保護トポロジカル相（FSPT）に対して構築する。一般化されたスピン構造におけるグラスマン積分を用いて高次形式の異常をキャンセルすることで、(2+1)Dのフェルミオン的トポロジカル秩序における異常を計算し、時間反転対称性を持つトポロジカル超伝導体におけるZ16異常不変量を再現する。これにより、4次元多様体における特異的滑らかさ構造を区別できる。

ABSTRACT

Given a (2+1)D fermionic topological order and a symmetry fractionalization class for a global symmetry group $G$, we show how to construct a (3+1)D topologically invariant path integral for a fermionic $G$ symmetry-protected topological state ($G$-FSPT) in terms of an exact combinatorial state sum. This provides a general way to compute anomalies in (2+1)D fermionic symmetry-enriched topological states of matter. Equivalently, our construction provides an exact (3+1)D combinatorial state sum for a path integral of any FSPT that admits a symmetry-preserving gapped boundary, including the (3+1)D topological insulators and superconductors in class AII, AIII, DIII, and CII that arise in the free fermion classification. Our construction uses the fermionic topological order (characterized by a super-modular tensor category) and symmetry fractionalization data to define a (3+1)D path integral for a bosonic theory that hosts a non-trivial emergent fermionic particle, and then condenses the fermion by summing over closed 3-form $\mathbb{Z}_2$ background gauge fields. This procedure involves a number of non-trivial higher-form anomalies associated with Fermi statistics and fractional quantum numbers that need to be appropriately canceled off with a Grassmann integral that depends on a generalized spin structure. We show how our construction reproduces the $\mathbb{Z}_{16}$ anomaly indicator for time-reversal symmetric topological superconductors with ${\bf T}^2 = (-1)^F$. Mathematically, with standard technical assumptions, this implies that our construction gives a combinatorial state sum on a triangulated 4-manifold that can distinguish all $\mathbb{Z}_{16}$ $\mathrm{Pin}^+$ smooth bordism classes. As such, it contains the topological information encoded in the eta invariant of the pin$^+$ Dirac operator, thus giving an example of a state sum TQFT that can distinguish exotic smooth structure.

研究の動機と目的

• Gをグローバルな対称性とする(3+1)Dフェルミオン的対称性保護トポロジカル相（FSPT）の一般的かつ正確な組み合わせ的状態和の構成を提供すること。
• 2次元フェルミオン的トポロジカル秩序における分数化対称性を有する異常を、(3+1)D状態和に持ち上げることで計算すること。
• 自由フェルミオンのFSPT（例：AII, AIII, DIII, CII類）とT2 = (−1)Fを満たすトポロジカル超伝導体を、同一の状態和フレームワークで統一的に記述すること。
• ピン+ディラック作用素のエータ不変量と組み合わせ的状態和との間の関係を確立し、4次元多様体における特異的滑らかさ構造の検出を可能にすること。

提案手法

• トポロジカル秩序を記述する超モジュラーテンソルカテゴリと分数化対称性データを組み合わせることで、励起フェルミオンを有するボソン的理論の(3+1)D経路積分を構築する。
• 閉じたZ2 3形式ゲージ場の和をとることでフェルミオン凝縮を実装し、グローバルG対称性を有するフェルミオン的理論に射影する。
• 一般化されたスピン構造（例：ピン+構造）に依存するグラスマン積分を用いて、高次形式の異常（例：Sq2, w2, w21, 混在異常）をキャンセルする。
• フェルミオンループの巻き数を用いてグラスマン積分を定義し、三角形分割多様体上のグラスマン変数と代数的に関係付ける。
• 分岐構造とゲージ場構造を一貫して保つ三角形分割の細分化において、状態和のトポロジカル不変性を保証するため、パッケル移動における不変性を証明する。
• RP4のコンpakなセルレーション上で明示的な計算により、時間反転対称性を持つトポロジカル超伝導体における既知のZ16異常不変量が再現されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル対称性Gを有するフェルミオン的SPT相を記述するための(3+1)Dの組み合わせ的状態和をどのように構築できるか？
• RQ2 フェルミ統計と分数量子数に関連する高次形式の異常（例：Sq2, w2, w21）が経路積分に与える影響は何か？ そして、それらはどのようにキャンセルできるか？
• RQ3 この状態和の構成は、T2 = (−1)Fを満たす時間反転対称性を持つトポロジカル超伝導体におけるZ16異常を検出できるか？
• RQ4 この状態和はピン+ボルディズム類を区別でき、4次元多様体における特異的滑らかさ構造を検出できるか？
• RQ5 三角形分割の設定において、Z2 3形式ゲージ場とグラスマン積分を用いてフェルミオン凝縮手順はどのように実装されるか？

主な発見

• この状態和の構成は、任意の対称性を保つギャップを持つ境界を有するフェルミオン的SPTに対して、トポロジカル不変な組み合わせ的経路積分を提供する。これには、自由フェルミオン類AII, AIII, DIII, CIIが含まれる。
• RP4のコンパクトなセルレーション上で明示的な計算により、時間反転対称性を持つトポロジカル超伝導体におけるZ16異常不変量が正しく再現された。
• この状態和は、滑らかな4次元多様体の16のピン+ボルディズム類をすべて区別でき、ピン+ディラック作用素のエータ不変量を符号化し、特異的滑らかさ構造を検出する。
• 異常キャンセリングに用いられるグラスマン積分は、可縮でない多様体を含む、可縮・非可縮の両方の多様体において巻き数の定義と等価であり、幾何的構造全体にわたる一貫性を保証する。
• この状態和は可逆的かつボルディズム不変であるため、エータ不変量と同一のボルディズム不変量を用いてフェルミオン的SPT相を分類するTQFTとしての役割を確認する。
• この手法は、SO(3)3などの非アーベル任意ons理論へ一般化可能であり、同様のフレームワークを用いてその異常を正確に計算できる。