[論文レビュー] Anomaly Inflow and the $η$-Invariant

Edward Witten, Kazuya Yonekura|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2019

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、APS境界条件の下で、摂動的 Chern-Simons 項を Atiyah-Patodi-Singer の η-不変量に置き換えることにより、フェルミオンの異常流入の非摂動的定式化を確立した。この手法により、任意の時空次元における摂動的およびグローバル異常を、正確かつ数学的に厳密に記述できるようになった。主な結果は、η-不変量を介してグローバル異常と摂動的異常を統一する一般化された異常流入の公式であり、cobordism 不変性および d=1,2,3,4 における明示的例を通じて検証された。

ABSTRACT

Perturbative fermion anomalies in spacetime dimension $d$ have a well-known relation to Chern-Simons functions in dimension $D=d+1$. This relationship is manifested in a beautiful way in "anomaly inflow" from the bulk of a system to its boundary. Along with perturbative anomalies, fermions also have global or nonperturbative anomalies, which can be incorporated by using the $η$-invariant of Atiyah, Patodi, and Singer instead of the Chern-Simons function. Here we give a nonperturbative description of anomaly inflow, involving the $η$-invariant. This formula has been expected in the past based on the Dai-Freed theorem, but has not been fully justified. It leads to a general description of perturbative and nonperturbative fermion anomalies in $d$ dimensions in terms of an $η$-invariant in $D$ dimensions. This $η$-invariant is a cobordism invariant whenever perturbative anomalies cancel.

研究の動機と目的

• 摂動的およびグローバルフェルミオン異常を両方含む、非摂動的異常流入の一般化を提供すること。
• 異常流入におけるChern-Simons理論の非摂動的拡張として、Atiyah-Patodi-Singer境界条件を用いたη-不変量が正しいことの正当化。
• Dai-Freed定理が、異常を有する境界フェルミオンを伴うギャップのある異常なしバッキング系における異常流入を、厳密に基礎づけること。
• トポロジカルインシュレーターや標準模型を含む具体的な物理系におけるグローバル異常を、η-不変量フレームワークを用いて分析すること。
• d=4 における単連結なゲージ群を有するグローバル異常は、すべて SU(2) の部分群と D=5 における mod 2 指数によって完全に記述されることを示すこと。

提案手法

• D=d+1次元における質量のあるディラックフェルミオンの経路積分として異常流入を定式化し、境界上でAPS境界条件を課すことにより、η-不変量の有効作用が得られることを示した。
• Dai-Freed定理を用いて、η-不変量とチャーリカルフェルミオンの分配関数を関連づけ、グローバル異常と整合することを保証した。
• cobordism 不変性およびカットアンドパスターような議論を用いて、一般のゲージ群を SU(2) に還元し、グローバル異常が5次元における mod 2 指数によって記述されることを示した。
• D=d+1次元における指数関数的η-不変量を用いて異常構造を分析し、偶数次元または可定向多様体に限られていた従来の結果を一般化した。
• d=1,2,3,4 における明示的例（3+1次元トポロジカルインシュレーターおよび標準模型を含む）を構築し、非摂動的異常公式の妥当性を検証した。
• 障害理論およびホモトピー群解析（i≤4 に対する πi(G)）を用いて、任意の連結で単連結なゲージ群が SU(2) に還元可能であることを示し、グローバル異常分類を単純化した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非摂動的（グローバル）異常を含む摂動論を超えた異常流入の一般化はどのように可能か？
• RQ2 なぜ Atiyah-Patodi-Singer 境界条件を用いたη-不変量が、異常流入におけるChern-Simons理論の正しい非摂動的拡張であるのか？
• RQ3 Dai-Freed定理を用いて、任意の次元における異常流入振幅の正確な非摂動的公式を導出可能か？
• RQ4 d=4 における単連結なゲージ群を有するグローバル異常は、D=5 における mod 2 指数に還元可能か？その条件は何か？
• RQ5 η-不変量による定式化は、トポロジカルインシュレーター や標準模型といった凝縮系および高エネルギー物理学の例において、摂動的およびグローバル異常をどのように統一するか？

主な発見

• 非摂動的異常流入公式は、APS境界条件を課したディラック作用素の指数関数的η-不変量として与えられ、グローバル異常を含むChern-Simons作用量の一般化である。
• Dai-Freed定理は、η-不変量が異常流入におけるChern-Simons作用量の正しい非摂動的一般化であることを数学的に厳密に基礎づけている。
• d=4 において、連結で単連結なゲージ群に対するグローバル異常は、D=5 におけるディラック作用素の mod 2 指数によって完全に記述され、S⁴ 上のゼロモードの数が偶数であればその値は消える。
• π₄(G) = ℤ₂ を満たすゲージ群 G（例えば Sp(2k)）に対しては、Ramond境界条件を課した S⁴×S¹ 上での mod 2 指数がグローバル異常を検出でき、η-不変量が異常検出に果たす役割を確認した。
• cobordism 不変性およびカットアンドパスターような議論により、任意の連結で単連結な G における異常構造は SU(2) のそれと等価であることが示され、グローバル異常の分類は SU(2) の場合に還元可能である。
• この解析により、3+1次元トポロジカルインシュレーターにおける電磁的θ角がη-不変量によって記述されることを確認し、この系における非摂動的異常記述が得られた。