[論文レビュー] Another state entanglement measure

O. A. Nagel, G. A. Raggio|ArXiv.org|Jun 3, 2003

Quantum Information and Cryptography参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、単位的C*-代数のテンソル積上の量子状態ωに対して、分解された状態とその積マージンの間の相対エントロピーの和の下界として定義される新しいもつれ尺度E(ω)を提案する。この尺度は、物理的に意味のある性質を満たす：分離状態では0に消え、局所的変換に対して不変であり、相対エントロピーの変分表現を用いてもつれ検出の下界を与える。

ABSTRACT

We propose a measure of state entanglement for states of the tensor-product of C*-algebras.

研究の動機と目的

• C*-代数で記述される複合量子系の物理的に意味のあるもつれ尺度を定義すること。
• この尺度が局所的*-同型写像に対して不変であり、局所的量子操作と古典的通信（LQCC）に対して単調であること保証すること。
• もつれと、状態とその積マージンとの間の相対エントロピーとの間の関係を確立すること。
• Kosakiの相対エントロピーの変分公式を用いて、もつれの計算可能な下界を提供すること。
• この尺度と、積状態の凸結合の閉包との関係を明確にすること。

提案手法

• 相対エントロピーSを用いて、E(ω) = inf_{[λ_j, ω_j] ∈ D_ω} ∑_j λ_j S(ω_j, ω_j^A ⊗ ω_j^B) としてもつれ尺度を定義する。
• 特にヒルベルト空間上の密度作用素に対して、ArakiによるC*-代数上の状態の相対エントロピーの定義を用いる。
• 任意の*-同型写像αとβに対してE(ω∘(α⊗β)) = E(ω)を示すことにより、局所*-同型写像に対して不変であることを証明する。
• マージン化と可換する、単調性を満たすSchwarz正の写像γに対して、E(ω∘γ) ≤ E(ω)を示す。
• E(ω) = 0が、積状態の凸包のw*-閉包に属することと同値であることを特徴づける。
• 状態空間上の重心がωであるレドン測度の下での変分表現を用いて、E(ω)を下界として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的変換に対して不変であり、物理的に意味のあるもつれ尺度を定義できるか？
• RQ2 提案された尺度は、正確に分離状態（積状態の凸結合の閉包に属する状態）で0に消えるか？
• RQ3 Kosakiの相対エントロピーの変分公式を用いて、尺度の下界を評価できるか？
• RQ4 尺度は局所的量子操作と古典的通信（LQCC）に対して単調か？
• RQ5 与えられた重心を持つ確率測度上の下界として、尺度を表現できるか？

主な発見

• 尺度は0 ≤ E(ω) ≤ S(ω, ω^A ⊗ ω^B) を満たし、ωが純粋状態のとき上界に等しくなる。
• E(ω) = 0であることは、ωが積状態の凸包のw*-閉包に属することと同値である。すなわち、ωは分離状態である。
• 尺度は凸であるが、アフィンではない。また、局所*-同型写像に対して不変である。
• 任意の単位的で連続的、Schwarz正の写像γについて、γがマージン化と可換であるとき、E(ω∘γ) ≤ E(ω)が成り立ち、LQCC操作における単調性が確認される。
• 不等式E((ω₁⊗⋯⊗ωₙ)∘ζₙ) ≤ ∑_j E(ω_j) が成り立ち、一般には等号は成立しない。これは、以前の加法性に関する主張と矛盾する。
• 尺度は変分表現E(ω) = inf_{μ∈M_ω} ∫ S(φ, φ^A⊗φ^B) dμ(φ) を持ち、この下界はあるμ₀によって達成される。