[論文レビュー] Anti-Invariant Riemannian Submersions from Sasakian Manifolds

İrem Küpeli Erken, Cengizhan Murathan|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、Sasakian多様体からRiemann多様体への反不変Riemann被覆を導入し、その被覆が全測地的および調和的であるための必要十分条件を確立している。主な貢献は、垂直分布が $\phi\ker F_* \oplus \{\xi\}$ であるという条件下で、全測地的性を表す $τ_V\phi W = 0$ および調和的性を表す $\text{Trace } \phi \mathcal{T}_V = 0$ という特定のテンソルの消滅によってこれらの性質を特徴づけることにある。

ABSTRACT

We introduce anti-invariant Riemannian submersions from Sasakian manifolds onto Riemannian manifolds. We survey main results of anti-invariant Riemannian submersions defined on Sasakian manifolds. We investigate necessary and sufficient condition for an anti-invariant Riemannian submersion to be totally geodesic and harmonic. We give examples of anti-invariant submersions such that characteristic vector field ξ is vertical or horizontal.

研究の動機と目的

• Sasakian多様体からRiemann多様体への反不変Riemann被覆を定義し、それらを調査すること。
• このような被覆が全測地的であるための必要十分条件を特定すること。
• これらの被覆が調和的であるための条件を確立し、調和的性をテンソル場のトレースに関連付けること。
• 特徴的ベクトル場 $\xi$ が垂直または水平である場合の明示的例を提示すること。
• 特に反不変分布に注目したSasakian設定におけるRiemann被覆の理論を拡張すること。

提案手法

• 水平分布がほぼ接触構造 $\phi$ に関して不変であることを要求することで、Sasakian多様体からの反不変Riemann被覆を定義し、$\xi$ が垂直または水平である可能性を含む。
• O'Neillのテンソル $\mathcal{T}$ と $\mathcal{A}$ を用いて被覆の幾何を分析し、特に第二基本形式と積分可能性を検討する。
• すべての $W,V\in\Gamma(\ker F_*)$ および $X\in\Gamma((\ker F_*)^\perp)$ に対して $\mathcal{T}_{W}\phi V$ と $\mathcal{A}_{X}\phi W$ の消滅を分析することで、全測地的性の条件を導出する。
• すべての $V\in\Gamma(\ker F_*)$ に対して $\text{Trace } \phi \mathcal{T}_V = 0$ というトレース条件を用いて調和的性を確立し、調和的性を最小なファイバーに関連付ける。
• Sasakian構造 $\phi$, $\xi$, $\eta$ および計量 $g_M$ を用いて、$\nabla$, $\mathcal{H}$, $\mathcal{V}$ 投影に関連するテンソル恒等式を導出する。
• 恒等式 $\mathcal{T}_V\phi W = \phi \mathcal{T}_V W$ を適用し、ファイバーの曲率と調和的条件との関係を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sasakian多様体からの反不変Riemann被覆が全測地的であるための条件は何か？
• RQ2 このような被覆がいつ調和的であり、それはファイバーの幾何とどのように関係しているか？
• RQ3 特徴的ベクトル場 $\xi$ の位置（垂直または水平）が被覆の幾何的性質に与える影響は何か？
• RQ4 水平分布の $\phi$-不変性が被覆の積分可能性および曲率に果たす役割は何か？
• RQ5 O'Neillのテンソル $\mathcal{T}$ と $\mathcal{A}$ は、Sasakian設定における反不変被覆の幾何にどのように制限を加えるか？

主な発見

• Sasakian多様体 $M(\phi,\xi,\eta,g_M)$ からRiemann多様体 $(N,g_N)$ への反不変Riemann被覆 $F$ は、すべての $W,V\in\Gamma(\ker F_*)$ および $X\in\Gamma((\ker F_*)^\perp)$ に対して $\mathcal{T}_W\phi V = 0$ かつ $\mathcal{A}_X\phi W = 0$ であるときかつそのときに限り全測地的である。
• 被覆は、すべての $V\in\Gamma(\ker F_*)$ に対して $\text{Trace } \phi \mathcal{T}_V = 0$ であるときかつそのときに限り調和的であり、これはファイバーが最小であることと同値である。
• すべての垂直ベクトル場 $V,W$ に対して $\mathcal{T}_V\phi W = \phi \mathcal{T}_V W$ が成り立つ。これは $\phi$ の作用と第二基本形式との関係を結ぶ。
• もし $\ker F_*^\perp = \phi\ker F_* \oplus \{\xi\}$ であれば、被覆はすべての $V,W\in\Gamma(\ker F_*)$ に対して $\mathcal{T}_V\phi W = 0$ であるときかつそのときに限り全測地的であり、基準が単純化される。
• 被覆が全測地的であることは、水平分布が全測地的であることと同値であり、これはすべての $X\in\Gamma((\ker F_*)^\perp)$ および $V,W\in\Gamma(\ker F_*)$ に対して $g_N((\nabla F_*)(V,\phi X), F_*\phi W) = 0$ であることに等しい。
• 被覆が調和的であることと、ファイバーの平均曲率ベクトル場が消えることは同値であり、これは $\sum_{i=1}^k \mathcal{T}_{e_i}e_i = 0$ と同値であり、さらに $\text{Trace } \phi \mathcal{T}_V = 0$ と同値である。