[論文レビュー] Aperiodic Points in Z²-subshifts

Grandjean, Anael, Hellouin de Menibus, Benjamin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Cellular Automata and Applications参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、パターンに基づく前順序 ⪯ とカントール＝ベンディクソン階層の2つの道具を用いて、2次元の部分シフトの構造的・組合せ的性質を調査する。可算なSFTでは、最も単純なパターン内容を持つ非周期的配置が常に存在することを証明し、禁止パターンを用いた非可算部分シフトの特徴付けを行い、特定のカントール＝ベンディクソン階層（特に極限順序数 λ に対して λ+2 であるもの）が不可能であることを示し、可算SFTの可能な階層をいくつかの未解決事例に絞り込んでいる。

ABSTRACT

We consider the structure of aperiodic points in Z^2-subshifts, and in particular the positions at which they fail to be periodic. We prove that if a Z^2-subshift contains points whose smallest period is arbitrarily large, then it contains an aperiodic point. This lets us characterise the computational difficulty of deciding if an Z^2-subshift of finite type contains an aperiodic point. Another consequence is that Z^2-subshifts with no aperiodic point have a very strong dynamical structure and are almost topologically conjugate to some Z-subshift. Finally, we use this result to characterize sets of possible slopes of periodicity for Z^3-subshifts of finite type.

研究の動機と目的

• 多次元部分シフト、特に2次元における配置の構造的・組合せ的性質を理解すること。
• 有限型部分シフト（SFT）の可算な部分シフトにおける最も単純な非周期的配置を特徴付けること。
• パターンに基づく言語的性質を用いて、部分シフトにおける非可算性の原因を特定すること。
• 可算SFTにおけるカントール＝ベンディクソン階層の可能な値を調査し、特定の無限クラスの階層を除外すること。

提案手法

• 有限パターンの包含関係に基づく前順序関係 ⪯ の使用：x ⪯ y であるとは、x に現れるすべての有限パターンが y に現れるときを意味する。
• 部分シフトの位相的複雑さを分析するために、カントール＝ベンディクソン導来過程を適用する。
• 位相的および組合せ的議論を用いて、部分シフトが有限、可算無限、または非可算のいずれかであることを証明する。
• 部分シフトにおける周期性の問題を1次元的射影に還元し、極限に関する閉包性質を用いる。
• 禁止パターンからSFTを構成し、特定の周期性を持つ配置の反復的除去によって導来部分シフトを分析する。
• コンパクト性の議論と超限帰納法を用いて、不可能なカントール＝ベンディクソン階層に対して矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算SFTにおける非周期的配置の最小組合せ的複雑さは何か？
• RQ2 どの配置が部分シフトの非可算性の原因となっているか？
• RQ3 可算SFTが実現可能なカントール＝ベンディクソン階層は何か、またどのような階層が除外されるか？
• RQ4 前順序 ⪯ は、配置のパターン内容を位相的複雑さを反映するように分類するために用いることができるか？
• RQ5 複雑度関数 Cm,n(c) と配置のカントール＝ベンディクソン階層、または ⪯-レベルとの間に何らかの関係があるか？

主な発見

• 任意の可算SFTにおいて、非周期的配置の中で前順序 ⪯ に関して最小であるものが常に存在する。これは、非周期的配置の中で可能な限り少ないパターン数を含むことを意味する。
• 部分シフトが非可算であるための必要十分条件は、その言語に特定の禁止パターン集合を含み、かつそのパターン集合によって非可算に多くの拡張が可能であるような配置を含むことである。
• 可算SFTのカントール＝ベンディクソン階層は、任意の極限順序数 λ に対して λ+2 にはなりえない。これは、大きなクラスの可能な階層を除外する。
• 可算SFTの λ 階層導来部分シフトに属するすべての配置は、少なくとも1方向では周期的であり、その周期の集合は平行移動を除いて有限である。
• 可算SFTにおける最小非周期的配置の言語は、パターン包含に関して閉じており、かつ任意の周期的配置と同値でない。
• 配置 c が ⪯-レベル 0 にあるとき、複雑度関数 Cm,n(c) は定数であり、レベル 1 では線形、レベル 2 では二次関数的である。これは、組合せ的複雑さと位相的階層の間の構造的関係を示唆する。