[論文レビュー] Application of conformal mapping technique to problems of direct current distribution in thin film wires bent at arbitrary angle

T. N. Gerasimenko, P. A. Polyakov|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2011

Vibration and Dynamic Analysis参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、鋭角における物理的に不適切な無限大の電流密度を避けるために、薄膜ワイヤの曲がり部分における電流分布をモデル化する3パラメータの共形写像技術を提案する。角を円弧で近似し、シュワーツ・クリスティオフェル変換を用いてラプラス方程式を解くことで、電流密度の解析的表現を導出し、曲がり半径が大きくなるほどピーク電流密度が低下することを示した。これにより、微細電子回路設計における安全なコーナー半径の推定が可能となる。

ABSTRACT

Current distributions in thin film wires bent at different angles were investigated with a conformal mapping method. The technique of angles rounding using three parameters was suggested. This technique enabled to obtain a smooth line having a similar form with an arc of a circle and to avoid infinite current density in the angle. The dependency between current density and the radius of rounding was examined.

研究の動機と目的

• 微細電子回路で用いられる薄膜導体における鋭角部で予測される物理的に不適切な無限大の電流密度を是正すること。
• 鋭角部における特異的電流密度が引き起こす数値的不安定性を克服すること。
• 丸みを帯びたコーナーを有する曲がった薄膜ワイヤにおける現実的な電流分布を解析的にモデル化すること。
• コーナーの丸み半径とピーク電流密度の間の定量的関係を確立し、設計規則の指針とすること。
• 従来90°に限定されていた解析的解を、共形写像技術を用いて任意の曲げ角に拡張すること。

提案手法

• シュワーツ・クリスティオフェル変換を用いて、上半平面における複素ポテンシャルを、任意の角度αを持つ曲がった薄膜ワイヤの幾何形状に共形写像する。
• 複素ポテンシャル W(z) = U(z) + iV(z) を用い、U(z) をストリーム関数、V(z) をスカラーポテンシャルとする。これらはコーシー・リーマンの関係式を満たす。
• 境界条件を定義し、ワイヤの端縁に沿って一様に電流が流れ込むようにし、上下面でストリーム関数が定数となるようにする。
• 角のなめらかで円弧に近い丸みを表現するために、3パラメータ（δ₁, δ₂, γ）を導入し、2パラメータモデルを改善する。
• 1−β = P/Q（有理数）の場合に、初等関数で表現可能な写像が得られ、30°, 60°, 120°などの特定角度で解析的積分が可能となる。
• 電流密度を |dW/dz|⁻¹ として表現し、シュワーツ・クリスティオフェル積分の逆写像から得られる写像関数を用い、与えられたαおよびh/kに対して数値的に連立方程式を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 鋭角を持つ薄膜ワイヤにおける電流密度分布を、物理的特異性を避ける解析的モデルでどのように表現できるか？
• RQ2 任意の角度に曲げられた薄膜導体において、コーナーの丸みがピーク電流密度に与える影響は何か？
• RQ3 3パラメータの共形写像法により、無限大の電流密度を避けることができるなめらかで円弧に近いコーナーを構築できるか、かつ解析的に取り扱えるか？
• RQ4 丸み半径ρとコーナー部の最大電流密度との間の定量的関係は何か？
• RQ5 与えられた曲げ角αおよび導体の幾何形状（h/k）に対して、電流集中が安全限界を超えない最大許容丸み半径ρは何か？

主な発見

• 提案された3パラメータの共形写像法により、物理的に不適切な無限大の電流密度を避けるなめらかで円弧に近いコーナー形状が得られることを確認した。
• h/k = 1.5 の120°曲げにおいて、数値的安定性と物理的整合性を保つために、最大許容丸み半径ρは0.8k未満であることが判明した。
• h/k = 2 の30°曲げにおいては、最大許容丸み半径はわずか0.012kにとどまり、コーナー幾何形状に極めて敏感であることが示された。
• 30°, 60°, 120°の各角度についてのプロットから、ρが大きくなるほどコーナー部の電流密度が顕著に低下することが明らかになった。
• 遠方場における電流密度j₋∞に対するピーク電流密度の正規化値は、ρが増加するにつれて単調に減少し、より大きな半径が電流集中を軽減することを示している。
• 本手法により、90°曲げに限定されていた従来の解析的解を、任意の角度にまで拡張して、曲がった薄膜ワイヤにおける電流分布の解析的解が得られた。