[論文レビュー] Application of covariant analytic mechanics with differential forms to gravity with Dirac field

Satoshi Nakajima|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、微分形式を用いた共変な解析的力学をディラック場およびディラック場と結合した重力に適用し、微分同相変換およびゲージ変換に対して明示的に共変なハミルトニアン形式を確立する。この枠組みにおいて、2次形式は高次の曲率項を含む重力理論を一貫して記述できないことが示され、このような理論に対してこの手法に根本的な制限があることが浮き彫りになる。

ABSTRACT

We apply the covariant analytic mechanics with the differential forms to the Dirac field and the gravity with the Dirac field. The covariant analytic mechanics treats space and time on an equal footing regarding the differential forms as the basic variables. A significant feature of the covariant analytic mechanics is that the canonical equations, in addition to the Euler-Lagrange equation, are not only manifestly general coordinate covariant but also gauge covariant. Combining our study and the previous works (the scalar field, the abelian and non-abelian gauge fields and the gravity without the Dirac field), the applicability of the covariant analytic mechanics is checked for all fundamental fields. We study both the first and second order formalism of the gravitational field coupled with matters including the Dirac field. It is suggested that gravitation theories including higher order curvatures cannot be treated by the second order formalism in the covariant analytic mechanics.

研究の動機と目的

• スカラー場、ゲージ場、重力場に既に適用された共変な解析的力学を、ディラック場を含むように拡張すること。
• 微分形式を用いて、ディラック場と結合した重力に対する、一般座標変換およびゲージ変換に対して明示的に共変なハミルトニアン形式を確立すること。
• 共変な解析的力学における2次形式が、高次の曲率不変量を含む重力理論を一貫して記述できるかを調査すること。
• 純粋な重力のラグランジアン形式における全微分項の役割を明らかにし、正しい運動方程式を導出するためにそれがなぜ必要不可欠であるかを明確にすること。

提案手法

• ディラック場を微分形式で定式化し、平坦な時空でもフレーム（ビエルバイン）が幾何的構造として必要になることを示す。
• ラグランジアンがD形式であり、共役運動量が微分形式であるという共変な解析的力学の枠組みを適用し、微分同相変換およびゲージ変換に対して明示的な共変性を保証する。
• スピンルーパー場ψとその共役運動量形式Πを独立変数として扱うことで、ディラック場のハミルトニアン形式を導出する。
• フレームと接続を独立変数として用いる重力の第一階形式を解析し、ラグランジュ乗数形式を必要とする制約を同定する。
• アインシュタイン＝ヒルベルト形式から出発し、全微分項 $ L'_{\rm{G}} = \frac{1}{2\kappa}d(e_{ab} \wedge \omega^{ab}) $ を差し引くことで2次形式を導出する。この項が正しい運動方程式を導くために不可欠であることを示す。
• 4次元特有の微分恒等式（例えば、ホッジ双対性やリーマン・クリストッフェルテンソルの関係）を用いて、ハミルトニアン形式の微分を計算し、先行研究における誤りを是正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分形式を用いた共変な解析的力学の枠組みを、ディラック場に一貫して拡張できるか。
• RQ2 共変な解析的力学における2次形式が、高次の曲率不変量を含む重力理論を一貫して記述できるか。
• RQ3 この枠組みにおいて、純粋な重力のラグランジアン形式における全微分項 $ d(e_{ab} \wedge \omega^{ab}) $ の役割は何か。
• RQ4 ディラック場と結合した重力のハミルトニアン形式は、従来の手法と比べて、共変性および制約構造の点でどのように異なるか。
• RQ5 この枠組みにおけるポアソン括弧構造は、制約付き系で用いられるディラック括弧法と整合性を持つか。

主な発見

• 共変な解析的力学の枠組みは、ディラック場へと自然に拡張可能であり、平坦な時空でもスピンルーパー場の性質を反映するためにフレーム（ビエルバイン）が必須であることが示された。
• リーマン接続が用いられる場合、この枠組みにおける純粋な重力のハミルトニアン形式は先行研究と同一であるが、4次元特有の恒等式を用いた微分計算において補正が必要である。
• 正しい運動方程式を導くために、純粋な重力のラグランジアン形式は全微分項 $ \frac{1}{2\kappa}d(e_{ab} \wedge \omega^{ab}) $ を含まないでいなければならない。この項を保持すると一貫性が損なわれる。
• ディラック場と結合した重力の第一階形式は、ラグランジュ乗数形式を必要とする制約付き系であることが確認され、制約の存在が裏付けられた。
• 高次の曲率不変量を含む重力理論は、この共変な解析的力学の枠組みにおいて2次形式では一貫して扱えないことが判明した。
• この枠組みにおいて初めてポアソン括弧が導入されたが、その量子化、正準変換、およびディラック括弧との整合性に関する全般的な意味は未解決のまま残っている。