[論文レビュー] Application of Optimal Transport and the Quadratic Wasserstein Metric to Full-Waveform Inversion

Yunan Yang, Björn Engquist+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2016

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、従来の $L^2$-ノルム手法に内在するサイクルスキッピングおよびノイズ感受性を克服するため、全波形反転（FWI）における不適合関数として2次 Wasserstein 距離 ($W_2$) を使用することを提案する。地震データを確率分布として扱い、Monge-Ampère 方程式またはトレース別1次元輸送を用いて最適輸送コストを計算することで、グローバル最小値への高速かつロバストな収束が可能となり、Marmousi、Camembert、BP モデルにおける数値結果では、$L^2$-ベースの FWI と比較して解像度が向上し、モデル誤差が低減していることが示された。

ABSTRACT

Conventional full-waveform inversion (FWI) using the least-squares norm ($L^2$) as a misfit function is known to suffer from cycle skipping. This increases the risk of computing a local rather than the global minimum of the misfit. In our previous work, we proposed the quadratic Wasserstein metric ($W_2$) as a new misfit function for FWI. The $W_2$ metric has been proved to have many ideal properties with regards to convexity and insensitivity to noise. When the observed and predicted seismic data are regarded as two density functions, the quadratic Wasserstein metric corresponds to the optimal cost of rearranging one density into the other, where the transportation cost is quadratic in distance. The difficulty of transforming seismic signals into nonnegative density functions is discussed. Unlike the $L^2$ norm, $W_2$ measures not only amplitude differences, but also global phase shifts, which helps to avoid cycle skipping issues. In this work, we build on our earlier method to cover more realistic high-resolution applications by embedding the $W_2$ technique into the framework of the adjoint-state method and applying it to seismic relevant 2D examples: the Camembert, the Marmousi, and the 2004 BP models. We propose a new way of using the $W_2$ metric trace-by-trace in FWI and compare it to global $W_2$ via the solution of the Monge-Ampère equation. With corresponding adjoint source, the velocity model can be updated using the l-BFGS method. Numerical results show the effectiveness of $W_2$ for alleviating cycle skipping issues and sensitivity to noise. Both mathematical theory and numerical examples demonstrate that the quadratic Wasserstein metric is a good candidate for a misfit function in seismic inversion.

研究の動機と目的

• 従来の $L^2$-ノルム全波形反転（FWI）におけるサイクルスキッピングおよびノイズ感受性の問題を、不適合関数を2次 Wasserstein 距離 ($W_2$) に置き換えることで解決すること。
• アドジョイントステート法を用いた勾配計算と統合可能な、実用的で高解像度な $W_2$-ベースの FWI フレームワークを構築すること。
• グローバルな $W_2$（Monge-Ampère ソルバを用いて）とトレース別 $W_2$ の計算方法を比較し、実際の2次元地震モデルにおける性能を評価すること。
• ノイズや滑らかでないデータが存在する場合でも、$W_2$-ベースの FWI が $L^2$-ベースの FWI よりも高速に収束し、モデル誤差が低減することを実証すること。
• 複雑な地下モデルを用いた数値実験により、$W_2$ の理論的利点（例：凸性、位相シフトに対する感受性の低さ）が実際に得られることを検証すること。

提案手法

• 観測データと予測データを、最適輸送に適した非負の密度関数（確率分布）として扱う。
• グローバル2次元最適輸送のための Monge-Ampère 方程式の解を用いて $W_2$ 不適合関数を計算し、輸送コストの正確な算出を保証する。
• 正確な1次元最適輸送の公式を用いてトレース別 $W_2$ を計算するアプローチを実装し、個々の地震トレース上で高速かつロバストな計算を可能にする。
• 最適輸送マップの勾配を用いて $W_2$ 不適合関数のアドジョイント源を導出することで、アドジョイントステート法との統合を可能にする。
• l-BFGS 最適化アルゴリズムを用いて、$W_2$-ベースの勾配とアドジョイント源に基づき、速度モデルを更新する。
• 特に高解像度モデルにおいて収束性と安定性を向上させるために、線形スケーリングなどの正規化技術を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次 Wasserstein 距離 ($W_2$) は、標準的な $L^2$ ノルムと比較して、全波形反転におけるサイクルスキッピングを効果的に軽減できるか？
• RQ2 グローバル $W_2$（Monge-Ampère ソルバを用いた）とトレース別 $W_2$ の間で、収束速度およびモデル精度の面で、どちらが優れているか？
• RQ3 $W_2$ は、地震反転におけるノイズや滑らかでないデータに対して、どの程度のロバストネスを向上させるか？
• RQ4 $W_2$-ベースの FWI は、高周波数帯での $L^2$ 反転でさらに精錬可能な、優れた初期モデルを生成できるか？
• RQ5 信号の正規化は、現実的な2次元モデルにおける $W_2$-ベースの FWI の安定性および収束性に、どのような役割を果たすか？

主な発見

• Marmousi モデルにおいて、$W_2$-ベースの FWI はトレース別 $W_2$ アプローチと比較して、収束モデルと真の速度モデル間の $L^2$ 誤差を25%低減した。
• トレース別 $W_2$ 法は、$L^2$-ベースの FWI と同等の解像度を達成する滑らかな反転結果を生成したが、収束が速く、サイクルスキッピングが発生しなかった。
• 20イテレーションのトレース別 $W_2$ で生成された粗いモデルから出発した場合、同じイテレーション数で $L^2$ よりもモデル誤差が低かったため、$W_2$ による初期モデル構築の優位性が示された。
• Monge-Ampère ソルバを用いたグローバル $W_2$ アプローチは、データ解像度に対してよりロバストであったが、特にデータ勾配がよく分解できる場合に有効であり、正確性を確保するには高いデータ密度を要した。
• 結果に見られる振動的アーチファクトは、数値的PDEソルバの誤差および $W_2$ のノイズ感受性に起因すると考えられ、TV正則化がこうした影響を緩和できる可能性がある。
• $W_2$-ベースの FWI は、標準的な $L^2$ FWI と同等の計算速度であったが、特にサイクルスキッピングが発生する状況下でも、より良い収束性と解像度を達成した。