[論文レビュー] Applications of a generalization of the nonlinear sigma model with O(d) group of symmetry to the dynamics of a constrained chain

Franco Ferrari, Jarosław Paturej+1 more|ArXiv.org|Jul 25, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般化線形でないσ模型（GNL σM）にO(d)対称性を導入し、d次元空間内の剛直で束縛された鎖鎖を記述するため、曲げエネルギーを組み込むことで拡張している。半古典的近似とゼータ関数正則化を用いて、動的形因子と静的形因子の動的一般化——鎖鎖の点間平均距離に関する主要な観測量——を計算し、輪状鎖鎖における位相的束縛を記述する場理論的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Subject of this work are the applications of a field theoretical model, called here generalized nonlinear sigma model or simply GNLSM,to the dynamics of a chain subjected to constraints. Chains with similar properties and constraints have been discussed in a seminal paper of Edwards and Goodyear using an approach based on the Langevin equation. The GNLSM has been proposed in a previous publication in order to describe the dynamics of a two dimensional chain. In this paper the model is extended to d dimensions and a bending energy term is added to its action. As an application, two observables are computed in the case of a very stiff chain. The first observable is the dynamical form factor of a ring shaped chain. The second observable is a straightforward generalization to dynamics of the static form factor. This observable is relevant in order to estimate the average distance between two arbitrary points of the chain. Finally, a variant of the GNLNM is presented, in which the topological conditions which constrain the motion of two linked chains are imposed with the help of the Gauss linking invariant.

研究の動機と目的

• 2次元一般化線形でないσ模型（GNL σM）をd次元空間に一般化し、O(d)対称性を導入することで、束縛ポリマー鎖をモデル化すること。
• 元の定式化に欠けていた鎖鎖の剛性を反映するために、GNL σMの作用に曲げエネルギー項を組み込むこと。
• 剛直な輪状鎖鎖に対して、動的形因子と静的形因子の動的一般化という2つの主要な観測量を、半古典的近似で計算すること。
• ガウスリンク不変量を用いて、連結鎖から生じるような位相的束縛を強制できる場理論的枠組みを構築すること。
• 紫外発散を避けるために、ゼータ関数正則化を用いて、観測量の計算における紫外発散を体系的に正則化し、有限で物理的に意味のある結果を得ること。

提案手法

• 鎖鎖の位置の2階微分の二乗に比例する曲げエネルギー項を含むように、元の2次元モデルの作用をd次元に拡張し、O(d)対称性を有するd次元GNL σMを定式化すること。
• 制約付き鎖鎖の統計力学を記述するために経路積分形式を適用し、半古典的近似において古典的配置周りの揺らぎを扱うこと。
• 相関関数の計算、特に動的形因子および関連観測量において生じる紫外発散を体系的に処理するために、ゼータ関数正則化を用いること。
• 局所的摂動への鎖鎖の応答を記述するため、フーリエ表現を用いてグリーン関数K(s,s')を導出する。境界条件により端点における電流が消えるように設定する。
• 2本の連結鎖のダイナミクスを記述するために、モデルの変種としてガウスリンク不変量を位相的束縛として実装すること。
• 部分積分を実行し、特に発散が生じる重合点におけるグリーン関数の対称性を活用して式を簡略化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化線形でないσ模型（GNL σM）を、O(d)対称性を有するd次元空間にどのように拡張すれば、剛直で束縛されたポリマー鎖をモデル化できるか？
• RQ2 GNL σMの作用に曲げエネルギー項を追加することで、剛直鎖のダイナミクスおよび統計的性質にどのような影響が生じるか？
• RQ3 場理論的枠組みにおいて、動的観測量の計算に伴って生じる紫外発散を、どのように体系的に正則化できるか？
• RQ4 剛直な輪状鎖鎖の文脈において、動的形因子およびその静的形因子への一般化の物理的解釈と定量的挙動は何か？
• RQ5 ガウスリンク不変量は、2本の連結鎖間の位相的束縛をモデル化するために、GNL σMに効果的に組み込むことができるか？

主な発見

• O(d)対称性を有する一般化GNL σMは、作用に曲げエネルギー項を組み込むことで、d次元空間における剛直鎖の記述に成功し、機械的および位相的効果の研究が可能になる。
• 動的形因子とその動的一般化は、半古典的近似で計算され、紫外発散はゼータ関数正則化によって正則化され、有限で物理的に意味のある結果が得られた。
• 作用の2次項における特異寄与は、定数σ = ∑κ=-∞^+∞ 1/(κ² + 1) を含む有限な表現に正則化され、動的形因子の最終式に現れる。
• グリーン関数K(s,s')はフーリエ級数で表現され、重合点でも収束することが示され、K(lα,lα) = σL/(4π²) が成り立つ。これにより、相関関数の有限な評価が可能になる。
• 動的形因子の最終式は、式(59)で導出された結果と一致しており、正則化および部分積分の手続きの整合性と正しさが裏付けられた。
• 本モデルは、リンク数から生じるような位相的束縛を、ガウスリンク不変量を用いて、ポリマー鎖の研究に適した場理論的枠組みとして提供する。