[論文レビュー] Applications of Discrepancy Theory in Multiobjective Approximation

Christian Glaßer, Christian Reitwießner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、分散理論におけるBeck-Fiala定理の多色拡張を用いて、多目的最適化問題のための確率的近似アルゴリズムを設計する。有向グラフにおけるk目的最大巡回セールスマン問題に対しては確率的1/2近似を達成し、無向グラフでは2/3近似を達成する。また、k目的最大充足可能性問題に対しても1/2近似を提供し、互いに支配し合わない解を統合する一般的で単純な枠組みを提示する。

ABSTRACT

We apply a multi-color extension of the Beck-Fiala theorem to show that the multiobjective maximum traveling salesman problem is randomized 1/2-approximable on directed graphs and randomized 2/3-approximable on undirected graphs. Using the same technique we show that the multiobjective maximum satisfiablilty problem is 1/2-approximable.

研究の動機と目的

• 複数の目的関数を同時に最適化する解が存在しない多目的最適化問題におけるPareto集合の一般的近似法の開発。
• 標準的な単目的ヒューリスティクスが失敗するような、多目的設定における互いに支配し合わない解の統合の課題に対処すること。
• 有向および無向グラフにおけるk目的最大巡回セールスマン問題に対する、改善されかつ簡素化された近似アルゴリズムの提供。
• 同様のアプローチをk目的最大重み充足可能性問題に拡張すること。
• 分散理論、特にBeck-Fiala定理およびその多色拡張が、多目的近似のための統一的で効果的な枠組みを提供することを示すこと。

提案手法

• Beck-Fiala定理の多色拡張を用いて、解の選択肢における多次元重み割り当ての分散を制限する。
• 最小サイクルサイズと固定辺の制約を満たすサイクルカバーを構築し、その後、頂点に確率的色分けを施して高重量のサイクルを選択する。
• 残りの辺が選択されたサイクルにカバーされないよう、頂点集合V^0およびV^1を貪欲に特定するプロセスを適用する。
• 選択された頂点に色分け関数χを適用し、複数の目的関数にわたる寄与をバランスさせる。これにより、期待値として最適解の半分以上の重みが達成される。
• 分散の上限に基づく確率的議論を用いて、選択された解の期待重みが最適Pareto重みの少なくとも1/2以上であることを示す。
• サイクルカバーと残りのグラフの結果を組み合わせ、三角不等式および重み分解を用いて近似比の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散理論を用いて、多目的最適化における支配し合わない解を体系的に統合することは可能か？
• RQ2 分散に基づく手法を用いることで、有向および無向グラフにおけるk目的最大巡回セールスマン問題に対してどの程度の近似比が達成可能か？
• RQ3 多色Beck-Fiala定理は、多目的充足可能性問題における改善された近似保証を可能にするか？
• RQ4 Pareto集合が指数的サイズであり、かつどの1つの解も他のすべての解を支配しない場合、効率的にPareto集合を近似する方法は何か？
• RQ5 分散理論に基づく一般枠組みは、多目的近似のための問題特有の構成を置き換えることができるか？

主な発見

• 有向グラフにおけるk目的最大巡回セールスマン問題は、分散理論を用いることで確率的1/2近似アルゴリズムを有する。
• 無向グラフでは、同じアプローチによりk目的最大巡回セールスマン問題に対して確率的2/3近似が達成される。
• k目的最大重み充足可能性問題は、同様の分散に基づく手法により1/2近似可能である。
• アルゴリズムは、サイクルカバーと、複数の目的関数にわたる寄与をバランスさせる確率的頂点色分けを組み合わせることで、近似保証を達成する。
• 多色Beck-Fiala定理を活用することで、従来の問題特有の構成よりも簡素化され、改善された手法が得られる。
• 解析により、解の期待重みが、解が目的関数で相互に支配し合わない場合でも、最適Pareto重みの半分以上であることが示された。