[論文レビュー] Applications of Equivariant Cohomology

Michèle Vergne|ArXiv.org|Jul 17, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 44被引用数 36

ひとこと要約

本稿では、一般化関数（シンプレクティック体積や横断的楕円型作用素のインデックスなど）を、多面体幾何学とベクトル分割関数に結びつけるために、等長コホロジーにおける局所化技術を開発する。局所的オイラー＝マクローリン公式を確立し、繰り返し留数とバーヴィノクの分解を用いた効率的アルゴリズムを提供する。これにより、有理数多面体内の整数点の数え上げとスプライン関数の計算が可能になる。

ABSTRACT

We will discuss the equivariant cohomology of a manifold endowed with the action of a Lie group. Localization formulae for equivariant integrals are explained by a vanishing theorem for equivariant cohomology with generalized coefficients. We then give applications to integration of characteristic classes on symplectic quotients and to indices of transversally elliptic operators. In particular, we state a conjecture for the index of a transversally elliptic operator linked to a Hamiltonian action. In the last part, we describe algorithms for numerical computations of values of multivariate spline functions and of vector-partition functions of classical root systems.

研究の動機と目的

• リー群作用を伴う多様体上の等長クラスの積分を計算するための、一般化係数を伴う等長コホロジーにおける局所化原理を確立すること。
• 逆フーリエ変換問題を解くこと：局所化公式から、一般化関数の一点における値を回復すること。
• 等長コホロジーと離散幾何学を結びつけることにより、有理数多面体内の体積と整数点の数をコホロロジー的不変量に関連付けること。
• 繰り返し留数とバーヴィノクの符号付き分解を用いて、古典的根系の多変数スプライン関数とベクトル分割関数を効率的に計算するアルゴリズムを開発すること。
• 有理数多面体に対して、局所的オイラー＝マクローリン公式を証明し、各面における微分作用素による局所的寄与の和として整数点の数を表現すること。

提案手法

• ベクトル場の固定点集合における局所的寄与にまで全球積分を還元するために、ウィッテンの局所化定理とパラダンの恒等式（M−Cにおける等長コホロジーで1=0）を用いる。
• 超平面配置のチャネルに対応するサイクルZ(𝔠)上で繰り返し留数を用いて、固定点成分の和として等長積分を表現する。
• 有理数多面体の積分サイクルZ(𝔠)を計算するために、デ・コンチーニ＝プロセッチの再帰的アルゴリズムを適用する。
• バーヴィノクの符号付き錐分解とLLLアルゴリズムを用いて、局所的オイラー＝マクローリン公式の微分作用素D_Fを多項式時間で計算する。
• Z(𝔠)上での積分により、多面体P_B(ξ)の体積および整数点の数についての積分公式を導出し、留数を用いた閉形式の表現を得る。
• 繰り返し留数に基づく数値アルゴリズムを実装し、ベクトル分割関数、コスタント分割関数、および古典的リー代数におけるテンソル積の多重度を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等長コホロジーにおける局所化を用いて、等長積分のフーリエ変換を、局所的寄与の和としてどのように計算できるか。
• RQ2 マーズディン＝ウエインシュタイン商のシンプレクティック体積と、元の多様体上の等長体積の逆フーリエ変換との間の正確な関係は何か。
• RQ3 有理数多面体に対して、各面における横断的錐構造のみを用いて、局所的オイラー＝マクローリン公式を導出し、アルゴリズム的に計算可能か。
• RQ4 有理数多面体内の整数点の数え上げの計算複雑度は何か。また、繰り返し留数法とバーヴィノクのアルゴリズムの比較は。
• RQ5 ハミルトニアン作用に関連する横断的楕円型作用素のインデックスを、局所化とコホロロジー的データを用いてどのように計算できるか。

主な発見

• 局所的オイラー＝マクローリン公式は、有理数多面体内の整数点における多項式の和を、各面ごとの微分作用素D_Fによる重み付き和として表現する。D_Fはその面における横断的錐構造にのみ依存する。
• 有理数多面体P（およびその拡大tP）内の整数点の数は、次元と展開次数が固定されている場合、バーヴィノクの符号付き分解とLLLアルゴリズムを用いて多項式時間で計算可能である。
• 有理数多面体P_B(ξ)の体積は、繰り返し留数を含む積分公式で与えられる：(2iπ)^{-r} ∫_{Z(𝔠)} ⟨ξ,v⟩^{n−r} / ∏_{a=1}^n ⟨β_a,v⟩ dv。これはデ・コンチーニ＝プロセッチの再帰により計算可能である。
• ベクトル分割関数N_B(ξ)（ベクトルβ_aの非負整数係数線形結合としてξを表す方法の数）は留数積分公式を有し、ユニモジュラーに近い系では効率的に計算可能である。
• 輸送多面体Transport(k,ℓ,r,c)の整数点の数は、従来の方法では17年分のCPU時間を要したが、新しい留数ベースのアルゴリズムは、構造的系では著しく優れている。
• 局所作用素D_Fは有理数係数を持ち、次元と展開次数が固定されている場合、多項式時間で計算可能である。これにより、次数kまでのエーリヒャー多項式の効率的近似が可能になる。