[論文レビュー] Applications of random matrix theory to condensed matter and optical physics

C. W. J. Beenakker|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2009

Random lasers and scattering media参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、量子ドットやカオス的キャビティにおける普遍的な伝導度揺動、サブ・ポアソン雑音、レーザー線幅を説明するため、確率的行列理論（RMT）を用いて、コンデンシテッド・マター系および光学系の普遍的輸送およびスペクトル的現象に応用している。Eigenvalue repulsion（固有値の反発）が量子ワイヤーにおける伝導度揺動と量子ドットにおけるショットノイズを支配することを示しており、非エルミートハミルトニアンと散乱行列統計を用いて、RMTはカオス的キャビティにおけるレーザー閾値と線幅を予測している。

ABSTRACT

This is a cursory overview of applications of concepts from random matrix theory (RMT) to quantum electronics and classical & quantum optics. The emphasis is on phenomena, predicted or explained by RMT, that have actually been observed in experiments on quantum wires, quantum dots, disordered wave guides, and chaotic resonators. Topics considered include universal conductance fluctuations, weak localization and coherent backscattering, sub-Poissonian shot noise and open transmission channels, non-Gaussian conductance and thermopower distributions, mesoscopic superconductivity, grey-body radiation, and chaotic laser cavities.

研究の動機と目的

• 伝導度揺動の普遍性を、固有値反発に基づく確率的行列理論（RMT）を用いて、不純物を含む金属的ワイヤーにおいて確立すること。
• RMTアンサンブルによる伝達固有値統計の分析を通じて、量子ドットにおけるサブ・ポアソン雑音を説明すること。
• RMTに基づくギャップ揺動モデルを用いて、超伝導プロキシミティ系における量子から古典的転移を記述すること。
• ランダム媒体におけるコherentなバックスキャッタリングおよびスパッタープロファイルを、RMTを用いて古典的光学でモデル化すること。
• 非エルミートRMTを用いて、カオス的レーザー・キャビティにおけるレーザーモードの統計的性質およびシュアロウ・タウンズ線幅を導出すること。

提案手法

• Dyson-Mehtaの公式を用いて、固有値の線形統計の分散を計算し、対称性指数 $\beta$ に依存する普遍的な $1/\beta$ の依存性を示している。
• 量子ワイヤーにおける伝達行列 $t$ にRMTを適用し、$G = G_0 \sum_n T_n$ において $T_n$ を $tt^\dagger$ の固有値として、伝導度揺動をモデル化している。
• 固有値反発と統計を記述するための同時確率分布 $P(\{T_n\}) \propto \prod_{i<j} |T_i - T_j|^\beta \prod_i p(T_i)$ を用いている。
• 非エルミートハミルトニアン $\mathcal{H} = H - i\pi WW^\dagger$ を用いて、開放系の量子系をモデル化し、$H$ をランダム、$W$ を結合行列とする。
• Weidenmüllerの公式を用いて散乱行列 $S(\omega)$ を導出し、$\mathcal{H}$ の複素固有値に対応する極を特定している。
• Petermann要因 $K$ を $K = (U^\dagger U)_{00} (U^{-1}U^{-1\dagger})_{00}$ で分析し、その分布が広く非対称であり、レーザー線幅の増幅を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子ワイヤーにおける伝導度揺動は、確率的行列アンサンブルにおける普遍的固有値反発からどのように生じるか？
• RQ2 なぜ量子ドットにおけるショットノイズはサブ・ポアソン的であり、RMTはポアソン的極限を超えてどのようにこれを説明するか？
• RQ3 カオス的キャビティにおけるレーザーモードの数は何によって決定され、モード競合はレーザー閾値にどのように影響するか？
• RQ4 Petermann要因 $K$ は、開放レーザー・キャビティにおける量子制限線幅にどのように影響し、その統計的分布は何か？
• RQ5 ランダム媒体における波動関数相関とスパッタープロファイルは、古典的および量子光学におけるRMTの予測とどのように関係するか？

主な発見

• 10 mKにおける金ワイヤーでは、伝導度揺動のルート・マン・スクエアが $0.3\,e^2/h$ であり、$\beta=2$ の理論的値 $\sqrt{1/15}\,e^2/h$ に近く、一致している。
• 量子ドットにおけるサブ・ポアソン雑音は、伝達行列における固有値反発に起因し、$1/\beta$ に比例して分散が抑制される。
• カオス的キャビティにおけるモード競合のため、平均レーザーモード数は $\bar{N}_{\text{lasing}} \propto \bar{N}_\sigma^{2/3}$ に比例して増加する。
• Petermann要因 $K$ は、$P(K|\Gamma_0) \propto (K-1)^{-2-3\beta/2}$ のように広く非対称な分布を示し、シュアロウ・タウンズ極限を超えて線幅が拡大する。
• 弱結合極限では $K=1$ であるが、一般には $K \geq 1$ であり、非ユニタリな固有ベクトルが非エルミートハミルトニアンから $K>1$ を生じる。
• シュアロウ・タウンズ線幅は $K$ によって拡大され、$\delta\omega = \frac{1}{2}K\Gamma_0^2/I$ と表される。$K$ は統計的に分布し、しばしば大きな値を取る。