[論文レビュー] Approximability Landscape of Welfare Maximization within Fair Allocations

Xiaolin Bu, Zihao Li+3 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2022

Game Theory and Voting Systems被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、分割不能財の公平配分における、任意のアイテムに対する envy-freeness (EFX) および1つのアイテムに対する envy-freeness (EF1) の制約下での社会的厚生の最大化に関する、包括的な複雑性および近似可能性の分析を提供する。2人のエージェントに対する EFX の下で多項式時間近似スキーム（PTAS）を確立し、非正規化評価の下で一般の $n$ に対して $O(n)$-近似、正規化評価の下で $O(\sqrt{n})$-近似を達成する。また、タイトな近似不可能性の境界を示している。正規化評価の下で EFX の価格が $\Theta(\sqrt{n})$ であることが示され、未解決の問題が解決された。

ABSTRACT

Fair allocation of indivisible goods studies allocating $m$ goods among $n$ agents in a fair manner. While fairness is a fundamental requirement in many real-world applications, it often conflicts with (economic) efficiency. This raises a natural and important question: How can we identify the most welfare-efficient allocation among all fair allocations? This paper answers from the perspective of computational complexity. Specifically, we study the problem of maximizing utilitarian social welfare under two widely studied fairness criteria: envy-freeness up to any item (EFX) and envy-freeness up to one item (EF1). We examine both normalized and unnormalized valuations, where normalized valuations require that each agent's total utility for all items is identical. The key contributions of this paper can be summarized as follows: (i) we sketch the complete complexity landscape of welfare maximization subject to fair allocation constraints; and (ii) we provide interesting bounds on the price of fairness for both EFX and EF1. Specifically: (1) For $n=2$ agents, we develop polynomial-time approximation schemes (PTAS) and provide NP-hardness results for EFX and EF1 constraints; (2) For $n>2$ agents, under EFX constraints, we design algorithms that achieve approximation ratios of $O(n)$ and $O(\sqrt{n})$ for unnormalized and normalized valuations, respectively. These results are complemented by asymptotically tight inapproximability results. We also obtain similar results for EF1 constraints; (3) When the number of agents is a fixed constant, we show that the optimal solution can be computed in polynomial time by slightly relaxing the fairness constraints, whereas exact fairness leads to strong inapproximability; (4) Furthermore, our results imply the price of EFX is $Θ(\sqrt{n})$ for normalized valuations, which is unknown in the literature.

研究の動機と目的

• 分割不能財の配分における EFX および EF1 の公平性制約下での社会的厚生最大化の計算複雑性および近似可能性を理解すること。
• 特に正規化評価の下で EFX の価格に関する未解決の問題を解明すること。
• 異なる評価タイプにおいて、EFX および EF1 の両設定に対してタイトな性能保証を持つ近似アルゴリズムを開発すること。

提案手法

• EFX の構造的性質とアイテム列における動的計画法を活用して、2エージェントの EFX 割当に対する PTAS を設計する。
• 価値に基づく分割を用いたグリーディー割当戦略を用いて、非正規化評価の下で一般の $n$ に対して $O(n)$-近似アルゴリズムを開発する。
• 対称性と価値の正規化を活用して、ユーティリティの差を制限することで、正規化評価の下で $O(\sqrt{n})$-近似アルゴリズムを導入する。
• 最大独立集合問題への還元を用いて、EFX および EF1 の両設定におけるタイトな近似不可能性の結果を証明する。
• 二基準近似困難性を用いて、P=NP でない限り、$(n^{1-\varepsilon}, 0.5+\varepsilon)$-近似が存在しないことを示す。
• 最適な社会的厚生（制約なし）と EFX/EF1 制約下で達成可能な最大厚生を比較することで、公平性の価格を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2人のエージェントに対する EFX 割当における社会的厚生最大化の近似可能性は何か？ また、PTAS は存在するか？
• RQ2 正規化評価および非正規化評価の下で、$n > 2$ のエージェントに対して EFX および EF1 割当のタイトな近似比は何か？
• RQ3 正規化評価の下で EFX の価格は何か？ また、EF1 の価格と比較するとどうなるか？
• RQ4 完全な EFX 割当よりも部分的な EFX 割当がより高い社会的厚生をもたらすことは可能か？ そして、近似アルゴリズムにどのような意味を持つのか？
• RQ5 EFX および EF1 制約付きの社会的厚生最大化の近似不可能性の境界は何か？

主な発見

• 2人のエージェントに対して、EFX の下で社会的厚生を最大化するための多項式時間近似スキーム（PTAS）が存在する。正確な最適化は NP 困難である。
• 一般の $n>2$ に対して、非正規化評価の下で $O(n)$-近似アルゴリズムが達成され、正規化評価の下で $O(\sqrt{n})$-近似アルゴリズムが EFX の下で達成される。
• 正規化評価の下で EFX の価格は $\Theta(\sqrt{n})$ であることが示され、文献における未解決問題が解決された。
• 非正規化評価の下で EFX の価格は $\Theta(n)$ であり、公平性制約による最悪ケース損失と一致する。
• EF1 に対しては、$n=2$ の場合に完全な多項式時間近似スキーム（FPTAS）が存在するが、$n>2$ の場合に多項式近似不可能性の境界が確立されている。
• EFX の近似不可能性はタイトである：P=NP でない限り、$(n^{1-\varepsilon}, 0.5+\varepsilon)$-二基準近似は存在しない。