[論文レビュー] Approximate controllability for fractional diffusion equations by Dirichlet boundary control

Kenichi Fujishiro|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$0 < \alpha < 1$ の Caputo 時間微分を伴う時間分数拡散方程式に対して、ディリクレ境界制御を用いて近似的可制御性を確立する。固有関数展開と双対系における一意的拡張性の性質を用いることで、初期状態を任意の最終状態に $L^2(\Omega)$ で任意に近づけることが可能であることを示している。主な貢献は、制御および領域に対する最小限の正則性仮定のもとで近似的可制御性の証明がなされたことである。

ABSTRACT

In this paper, we consider the approximate controllability of partial differential equations with time derivatives of non-integer order via boundary control. We first show the unique existence of the solution under smooth boundary conditions using the eigenfunction expansion. Next we also study the dual system and apply their results to prove (i) the regularity of the solution with non-smooth boundary conditions and (ii) approximate controllability.

研究の動機と目的

• $0 < \alpha < 1$ の Caputo 時間微分を伴う分数拡散方程式に対して、境界制御を用いた近似的可制御性を確立すること。
• $L^2(\Omega)$ における固有関数展開を用いて、解の適切な定義および正則性を分析すること。
• 双対系を研究し、可制御性に不可欠な一意的拡張性の性質を証明すること。
• 境界上のある部分境界 $\Gamma_0 \subset \Gamma$ に局在化した制御が、$L^2(\Omega)$ 内の任意の目標状態に系を任意に近づけることができることを示すこと。

提案手法

• 楕円型作用素 $L$ の固有値および固有関数を用いて、分数拡散方程式の解を固有関数展開で表現する。
• 滑らかでない境界データに対して弱解をトランスポジションの定義により定義し、$g \in H^{-1/2}(\Gamma)$ に対しても解の枠組みを拡張する。
• 補間理論を適用して、解作用素 $\Lambda$ が $L^2(\Gamma)$ から $H^{1/2}(\Omega)$ へ、また $H^{3/2}(\Gamma)$ から $\mathcal{D}(L^\theta)$（$\theta < 1/4$）へ有界に写像することを示す。
• 領域 $\Omega$ における双対系 $\mathscr{L}v = f$、境界 $\Gamma$ で $v = 0$ を定義し、解に対して一意的拡張性の性質を証明する。
• 双対系の唯一の拡張性を用いて可観測性を導出し、双対性により近似的可制御性を示す。
• リースの表現定理を用いて弱解を定義し、解作用素 $\Lambda$ の有界性評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $0 < \alpha < 1$ の時間分数拡散方程式の解は、ディリクレ境界制御を用いて、$L^2(\Omega)$ 内の任意の目標状態に任意に近づけることができるか？
• RQ2 境界制御 $g$ が $L^2(\Gamma)$ もしくは $H^{-1/2}(\Gamma)$ に属するとき、解および解作用素 $\Lambda$ の正則性はどのように定まるか？
• RQ3 分数拡散方程式の双対系は一意的拡張性の性質を満たすか？ また、この性質は可制御性とどのように関係するか？
• RQ4 固有関数展開法は、分数階 PDE の近似的可制御性の解析をどのように支援するか？
• RQ5 $L^2(\Omega)$ 範囲での近似的可制御性を保証するための境界制御 $g$ の最小正則性は何か？

主な発見

• 初期データ $u_0 \in L^2(\Omega)$ および制御 $g \in L^2(\Gamma)$ のもとで、$0 < \alpha < 1$ の分数拡散方程式の解は一意に存在し、$L^2(\Omega)$ に属する。
• 境界制御 $g$ から時刻 $T$ における状態へ写像する解作用素 $\Lambda$ は、$L^2(\Gamma)$ から $H^{1/2}(\Omega)$ へ、また $H^{3/2}(\Gamma)$ から $\mathcal{D}(L^\theta)$（$\theta < 1/4$）へ有界に写像する。
• 双対系は一意的拡張性の性質を満たす：ある部分領域で解が消えるならば、その解は恒等的にゼロである。これは可観測性の証明に不可欠である。
• 近似的可制御性が成立する：任意の $u_1 \in L^2(\Omega)$ および $\varepsilon > 0$ に対して、$g \in L^2(\Gamma_0 \times (0,T))$ が存在し、$\|u(\cdot,T) - u_1\|_{L^2(\Omega)} \leq \varepsilon$ を満たす。
• 証明は可制御性と可観測性の双対性に依拠しており、双対系の一意的拡張性が可観測不等式を保証する。
• 領域 $\Omega$ が $C^2$、係数 $a_{ij} \in C^1(\overline{\Omega})$、$c \in C(\overline{\Omega})$ かつ $c \geq 0$ という最小限の正則性仮定のもとで、結果が成り立つ。