[論文レビュー] Approximate Differentiability of Mappings of Carnot-Carathéodory Spaces

S. G. Basalaev, Sergey Vodopyanov|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、可測写像がCarnot–Carathéodory空間間で近似的に微分可能であることは、ほとんど everywhere で基本的な水平ベクトル場に沿った近似的微分可能性と同値であることを確立する。著者らは、$C^1$-滑らかさの水平ベクトル場に対するRashevsky–Chow定理を一般化し、StepanoffおよびWhitney型の定理を部分リーマン幾何に拡張し、近似的な部分リーマン計量ヤコビアンを含む面積公式を証明する。

ABSTRACT

We study the approximate differentiability of measurable mappings of Carnot--Carathéodory spaces. We show that the approximate differentiability almost everywhere is equivalent to the approximate differentiability along the basic horizontal vector fields almost everywhere. As a geometric tool we prove the generalization of Rashevsky--Chow theorem for $C^1$-smooth vector fields. The main result of the paper extends theorems on approximate differentiability proved by Stepanoff (1923, 1925) and Whitney (1951) in Euclidean spaces and by Vodopyanov (2000) on Carnot groups.

研究の動機と目的

• 可測写像の近的微分可能性と、Carnot–Carathéodory空間内での水平ベクトル場に沿った近的微分可能性の同値性を確立すること。
• Carnot–Carathéodory幾何における$C^1$-滑らかなベクトル場に対するRashevsky–Chow定理を一般化し、水平曲線による局所到達可能性を保証すること。
• ユークリッド空間から部分リーマン幾何へ、近的微分可能性に関する古典的定理（Stepanoff, Whitney）を拡張すること。
• 近的部分リーマンヤコビアンを用いた、近的微分可能な写像のための面積公式を導出すること。
• 近的微分が部分リーマン設定における古典的微分を一般化し、重要な測度論的性質を保つこと。

提案手法

• Carnot–Carathéodory空間におけるHausdorff測度の文脈で、近的極限および近的微分可能性の概念を用いる。
• Ball-Box定理を適用して、Carnot–Carathéodory距離を準距離$d_\rho$と関連づけ、Hausdorff測度の比較を可能にする。
• 第一および第二種の指数座標を用いて局所群構造を構築し、空間の幾何を分析する。
• 関数の近的微分がほとんど everywhere に存在するための必要十分条件として、水平方向に沿った近的微分がほとんど everywhere に存在することを証明する。
• 密度点および可測分解の概念を用いて、問題を可測集合上のリプシッツ写像に還元する。
• リプシッツ写像のための面積公式（定理4.3）を適用し、写像がリプシッツである集合に領域を分割することで、近的微分可能な写像へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可測写像がCarnot–Carathéodory空間で近的微分可能であることは、ほとんど everywhere で基本的な水平ベクトル場に沿った近的微分可能性と同値か？
• RQ2 Carnot–Carathéodory幾何の文脈において、Rashevsky–Chow定理を$C^1$-滑らかなベクトル場に一般化できるか？
• RQ3 近的微分可能性に関するStepanoff–Whitney定理は、部分リーマン多様体へと拡張可能か？
• RQ4 Carnot–Carathéodory空間間の近的微分可能な写像のための面積公式の形は何か？
• RQ5 近的部分リーマンヤコビアンは、可測写像の文脈で古典的ヤコビアンとどのように関係するか？

主な発見

• 可測写像$f$がCarnot–Carathéodory空間上で近的微分可能であることは、$f$がほとんど everywhere で基本的な水平ベクトル場に沿って近的微分可能であることと同値である。
• 一般化されたRashevsky–Chow定理により、$C^1$-滑らかな水平ベクトル場が水平曲線を介して局所的に接空間を張り、局所座標の構成が可能になる。
• 準距離$d_\rho$はCarnot–Carathéodory距離と局所的に同値であり、対応するHausdorff測度は互いに絶対連続である。
• 近的微分可能な写像に対して面積公式が成り立つ：$\int_E f(x)\operatorname{ap}\mathcal{J}^{SR}(\varphi,x)\,d\mathcal{H}_\rho^\nu(x) = \int_{\widetilde{\mathcal{M}}} \sum_{x \in \varphi^{-1}(y) \setminus \Sigma} f(x)\,d\mathcal{H}_\rho^\nu(y)$、ここで$\mathcal{H}_\rho^\nu(\Sigma) = 0$。
• 近的部分リーマンヤコビアンは$\sqrt{\det(\operatorname{ap}D\varphi(x)^* \operatorname{ap}D\varphi(x))}$として定義され、古典的微分が存在する場合には古典的ヤコビアンと一致する。
• 写像の定義域は、可測集合$E_i$の可算個の和集合と零集合$\Sigma$に分割可能であり、$\varphi|_{E_i}$はリプシッツであるため、各$E_i$で既知の面積公式を適用可能である。