[论文解读] Approximate Nearest Neighbors in the Space of Persistence Diagrams

Brittany Terese Fasy, Xiaozhou He+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 38被引用 7

一句话总结

该论文提出了首个基于瓶颈距离的持久性图谱近似最近邻搜索数据结构，利用基于网格的截断取整与多级分层索引。其在O((m log n + m²) log τ)时间内实现最近邻的六倍近似和k-th最近邻的二十四倍近似，空间复杂度为O(n5^m τ)，在避免线性瓶颈距离计算的前提下提供了性能保证。

ABSTRACT

Persistence diagrams are important tools in the field of topological data analysis that describe the presence and magnitude of features in a filtered topological space. However, current approaches for comparing a persistence diagram to a set of other persistence diagrams is linear in the number of diagrams or do not offer performance guarantees. In this paper, we apply concepts from locality-sensitive hashing to support approximate nearest neighbor search in the space of persistence diagrams. Given a set $Γ$ of $n$ $(M,m)$-bounded persistence diagrams, each with at most $m$ points, we snap-round the points of each diagram to points on a cubical lattice and produce a key for each possible snap-rounding. Specifically, we fix a grid over each diagram at several resolutions and consider the snap-roundings of each diagram to the four nearest lattice points. Then, we propose a data structure with $τ$ levels $\mathbb{D}_τ$ that stores all snap-roundings of each persistence diagram in $Γ$ at each resolution. This data structure has size $O(n5^mτ)$ to account for varying lattice resolutions as well as snap-roundings and the deletion of points with low persistence. To search for a persistence diagram, we compute a key for a query diagram by snapping each point to a lattice and deleting points of low persistence. Furthermore, as the lattice parameter decreases, searching our data structure yields a six-approximation of the nearest diagram in $Γ$ in $O((m\log{n}+m^2)\logτ)$ time and a constant factor approximation of the $k$th nearest diagram in $O((m\log{n}+m^2+k)\logτ)$ time.

研究动机与目标

• 解决使用瓶颈距离在持久性图谱空间中进行线性时间最近邻搜索的计算低效问题。
• 克服(M,m)-有界持久性图谱的无限加倍维数问题，该问题使基于度量的标准索引方法失效。
• 设计一种支持近似最近邻查询且具有可证明近似界和亚线性查询时间的数据结构。
• 通过降低查询图谱与大量图谱比较的开销，实现可扩展的拓扑数据分析。
• 提供一种实用的索引解决方案，避免概率性截断取整的陷阱，确保查询结果的确定性。

提出的方法

• 在多个分辨率下，将持久性图谱中的每个点截断取整到均匀网格的最近网格点，生成每个可能取整结果的键。
• 构建包含τ级的多级数据结构D_τ，以逐级增大的网格分辨率存储数据集Γ中每个图谱的所有截断取整结果。
• 采用分层索引机制，其中每一级对应一个更粗的网格，从而实现高效的基于键的搜索与近似。
• 对查询图谱，应用相同的截断取整过程生成键，然后在D_τ中搜索以检索在有界近似因子内的候选图谱。
• 通过为相邻网格点生成额外键来处理边界情况（如点位于网格线或边上），同时保持空间与时间复杂度不变。
• 通过确定性截断取整，借鉴局部敏感哈希原理，确保与邻近图谱发生碰撞的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在持久性图谱空间中支持具有可证明近似保证的近似最近邻搜索？
• RQ2 为何现有方法无法为该空间中的最近邻搜索提供性能保证？
• RQ3 是否可以设计一种避免线性瓶颈距离计算但保持近似质量的数据结构？
• RQ4 网格分辨率与截断取整策略的选择如何影响近似因子与查询效率？
• RQ5 能否通过确定性几何取整技术规避持久性图谱的无限加倍维数问题？

主要发现

• (M,m)-有界持久性图谱的加倍维数为无穷，这使得依赖有界加倍维数的基于度量的索引方法失效。
• 所提出的数据结构支持近似最近邻搜索，最近邻的近似因子为六倍，k-th最近邻的近似因子为二十四倍。
• 查询时间为O((m log n + m²) log τ)，在图谱数量上为亚线性，适用于大规模数据集。
• 空间复杂度为O(n5^m τ)，在m较小时呈指数增长，但对小m和可控τ值具有实际可行性，尤其在点分布感知优化下表现更优。
• 该方法避免了概率性截断取整，消除了误匹配风险，确保了查询结果的确定性。
• 与先前方法相比，该方法在类似问题上展现出更高的空间效率，尤其在与多边形曲线等其他领域中的指数空间结构对比时优势明显。