[논문 리뷰] Approximating Semi-Matchings in Streaming and in Two-Party Communication

Christian Konrad, Adi Rosén|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 25.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 이분 그래프에서 준정규매칭을 근사하기 위한 결정적 스트리밍 및 양자리 통신 알고리즘을 제안하며, 한 번의 스캔으로 Õ(n^{1+ε}) 공간을 사용해 O(n^{(1−ε)/2})-근사값을 달성하고, O(log n) 번의 스캔과 Õ(n) 공간을 사용해 O(log n)-근사값을 달성한다. 또한 최적의 준정규매칭을 최대매칭으로 구성된 계층적 분해로 나타내어 근사 bound를 향상시키고, 준정규매칭 이론을 고전적 매칭 이론과 연결시킨다.

ABSTRACT

We study the communication complexity and streaming complexity of approximating unweighted semi-matchings. A semi-matching in a bipartite graph G = (A, B, E), with n = |A|, is a subset of edges S that matches all A vertices to B vertices with the goal usually being to do this as fairly as possible. While the term 'semi-matching' was coined in 2003 by Harvey et al. [WADS 2003], the problem had already previously been studied in the scheduling literature under different names. We present a deterministic one-pass streaming algorithm that for any 0 <= ε<= 1 uses space O(n^{1+ε}) and computes an O(n^{(1-ε)/2})-approximation to the semi-matching problem. Furthermore, with O(log n) passes it is possible to compute an O(log n)-approximation with space O(n). In the one-way two-party communication setting, we show that for every ε> 0, deterministic communication protocols for computing an O(n^{1/((1+ε)c + 1)})-approximation require a message of size more than cn bits. We present two deterministic protocols communicating n and 2n edges that compute an O(sqrt(n)) and an O(n^{1/3})-approximation respectively. Finally, we improve on results of Harvey et al. [Journal of Algorithms 2006] and prove new links between semi-matchings and matchings. While it was known that an optimal semi-matching contains a maximum matching, we show that there is a hierarchical decomposition of an optimal semi-matching into maximum matchings. A similar result holds for semi-matchings that do not admit length-two degree-minimizing paths.

연구 동기 및 목표

• 서브라인어 메모리로 이분 그래프에서 준정규매칭을 근사하는 공간 효율적인 스트리밍 알고리즘을 설계하기 위해.
• 한 방향 두 참가자 모델에서 준정규매칭 근사값을 계산할 때의 통신 복잡도를 분석하기 위해.
• 최적 준정규매칭이 최대매칭으로 구성된 계층적 분해를 갖는다는 것을 보여줌으로써 최적 준정규매칭의 구조적 성질을 확립하기 위해.
• 도수 최소화 경로와 경로 뒤집기 기법을 활용하여 준정규매칭 문제의 근사 보장을 향상시키기 위해.
• 최적 준정규매칭과 특정 비퇴화 준정규매칭이 최대매칭의 순서로 분해된다는 것을 증명함으로써 준정규매칭 이론을 고전적 매칭 이론과 연결하기 위해.

제안 방법

• 길이 2의 도수 최소화 경로를 피하는 준정규매칭 S를 유지하는 한 번의 스캔 스트리밍 알고리즘을 사용하여 근사에 대한 구조적 안정성을 확보한다.
• A 쪽 정점에 대해 재귀적 분할 전략을 적용하여, 최적 준정규매칭에 비해 최대 도수가 유한한 부분집합을 반복적으로 고립한다.
• 모든 준정규매칭 S를 정점의 도수 기반으로 d개의 매칭 M₁,…,M_d로 분해함으로써 매칭 이론을 통한 분석을 가능하게 한다.
• 준정규매칭 S가 길이 2의 도수 최소화 경로를 포함하지 않는다면, 그 도수의 최댓값이 d* 이하인 부분그래프를 갖는 일정 비율의 정점을 고립시킬 수 있다는 사실을 활용한다.
• 정점 집합 A_i와 준정규매칭 S_i의 재귀적 구성 방법을 사용하며, 각 S_i는 A_i × B에 제한되어 있고 길이 2의 도수 최소화 경로를 피한다.
• 이러한 재귀적 단계의 수가 O(log n) 이하로 제한됨을 증명하여, 최적 준정규매칭에 대한 로그 수준의 근사 인자로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준정규매칭 근사에 대한 한 번의 스캔 스트리밍 알고리즘에서 공간 사용량과 근사 비율 사이의 상호 교환 관계는 무엇인가?
• RQ2 한 방향 두 참가자 모델에서 준정규매칭의 비트리버스 근사값을 계산하기 위해 필요한 통신량은 얼마나 되는가?
• RQ3 최적 준정규매칭은 최대매칭으로 구성된 계층적 분해를 갖는가? 이는 어떤 구조적 함의를 갖는가?
• RQ4 두 참가자 모델에서 o(n) 통신량을 사용할 때 도달 가능한 최고의 근사 인자는 무엇인가?
• RQ5 도수 최소화 경로는 최적 준정규매칭의 구조와 어떻게 관련되어 있으며, 근사 알고리즘 향상에 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 결정적 한 번 스캔 스트리밍 알고리즘이 임의의 ε ∈ [0,1]에 대해 Õ(n^{1+ε}) 공간을 사용해 O(n^{(1−ε)/2})-근사값을 달성한다.
• O(log n) 번의 스캔을 통해 Õ(n) 공간만으로도 O(log n)-근사값을 계산할 수 있으며, 이는 공간 효율성의 크게 향상된 것이다.
• 한 방향 두 참가자 통신 모델에서, O(n^{1/((1+ε)c+1}))-근사값을 달성하는 어떤 결정적 프로토콜이라도 cn 비트를 초과하는 통신이 필요하다.
• 두 개의 결정적 프로토콜이 제시된다: 하나는 n개의 간선을 전송하여 O(√n)-근사값을 달성하고, 다른 하나는 2n개의 간선을 전송하여 O(n^{1/3})-근사값을 달성한다.
• 최적 준정규매칭은 최대매칭의 순서로 계층적 분해될 수 있으며, 길이 2의 도수 최소화 경로를 포함하지 않는 준정규매칭에도 동일한 성질이 적용된다.
• 길이 2의 도수 최소화 경로를 포함하지 않는 준정규매칭의 최대 도수 값은 최적 준정규매칭의 최대 도수 값의 최대 ⌈log(n+1)⌉ 배 이하이다.