[論文レビュー] Approximating with Gaussians

Craig Calcaterra, Axel Boldt|ArXiv.org|May 25, 2008

Digital Filter Design and Implementation参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、固定分散を持つ平行移動されたガウス関数の線形結合が $L^2(\mathbb{R})$ で稠密であることを証明しており、$e^{-x^2}$ の僅かにずらしたコピーのみを用いて任意の $L^2$-近似が可能であることを示している。係数の計算には直交ヘルメルト関数と最小二乗法の2通りの方法を提示し、フーリエ変換を用いて低周波数の三角関数級数がガウス重み関数付きで $L^2(\mathbb{R})$ で稠密であることを示している。

ABSTRACT

Linear combinations of translations of a single Gaussian, e^{-x^2}, are shown to be dense in L^2(R). Two algorithms for determining the coefficients for the approximations are given, using orthogonal Hermite functions and least squares. Taking the Fourier transform of this result shows low-frequency trigonometric series are dense in L^2 with Gaussian weight function.

研究の動機と目的

• 単一のガウス関数 $e^{-x^2}$ の平行移動の線形結合が $L^2(\mathbb{R})$ で稠密であることを確立すること。
• ヘルメルト関数と最小二乗法を用いて、その近似における係数を明示的に計算するためのアルゴリズムを提供すること。
• 高階導関数近似に起因する数値的安定性および条件数の問題を分析すること。
• フーリエ変換を用いて、低周波数の三角関数級数がガウス重み付きで $L^2(\mathbb{R})$ で稠密であるという新しい系を導出すること。
• 丸め誤差や係数計算における悪条件性といった実用的課題に対処すること。

提案手法

• $L^2(\mathbb{R})$ におけるヘルメルト関数の稠密性を用いて、任意の $f \in L^2(\mathbb{R})$ を $e^{-x^2}$ の導関数の有限和で近似する。
• 有限後退差分を用いて、$e^{-x^2}$ の導関数を点 $x - nt$ における値の組み合わせで近似し、和 $\sum a_n e^{-(x - nt)^2}$ の係数 $a_n$ を得る。
• 直交射影をヘルメルト関数に適用することで、係数 $a_n$ の明示的公式を導出。$b_n = \frac{1}{n!2^n\sqrt{\pi}} \int f(x) e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2}) dx$。
• テイラー展開とバーデュンデ行列の逆行列を用いて、$n$ 点差分公式を一般化し、係数 $c_i$ を解く。
• 主結果にフーリエ変換を適用し、低周波数の三角関数級数が重み $e^{-x^2}$ を持つ $L^2(\mathbb{R})$ で稠密であることを示す。
• 近似点を原点付近の複素平面上に密に配置することで丸め誤差を低減するため、複素数ノードを用いた有限差分法を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $f \in L^2(\mathbb{R})$ は、$e^{-x^2}$ の有限個の平行移動の線形結合によって任意に良く近似可能か？
• RQ2 そのような近似における係数を効果的かつ安定的に計算する方法は何か？
• RQ3 $e^{-x^2}$ の導関数を有限差分で近似することは、近似の精度および条件数にどのような影響を与えるか？
• RQ4 ガウス近似結果のフーリエ変換の結果が重み付き $L^2$ 空間に与える意味は何か？
• RQ5 複素ステップ有限差分法は係数計算における数値的安定性を向上させられるか？

主な発見

• 平行移動された $e^{-x^2}$ の線形結合は $L^2(\mathbb{R})$ で稠密であり、任意の平方可積分関数は $L^2$-ノルムで任意の精度で近似可能である。
• 近似 $f \approx \sum_{n=0}^N a_n e^{-(x - nt)^2}$ の係数 $a_n$ は、ヘルメルト関数への直交射影を用いて明示的に計算可能である。
• 最小二乗法による係数計算は、悪条件な行列を生じさせ、数値的不安定性を示唆している。
• 定理3では、直接的な行列逆行列計算を避けるより計算効率の良い係数公式が提供されている。
• 有限差分による導関数近似の打ち切り誤差は $O(t^{n+1})$ で有界であり、$t$ を小さくせずに $n$ を増やすことで低減可能である。
• 主結果にフーリエ変換を適用することで、ガウス重み $e^{-x^2}$ を持つ $L^2(\mathbb{R})$ において低周波数の三角関数級数が稠密であることが示された。