[論文レビュー] Approximation Algorithms for Max-Min Share Allocations of Indivisible Chores and Goods

Haris Aziz, Gerhard Rauchecker+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2016

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、分割不能な雑務（負の効用アイテム）に対するMax-min Share（MmS）公平性を導入し、MmS割り当てが存在しない可能性があり、計算も強いかつてNP困難であることを証明する。本稿では、雑務に対する2-近似アルゴリズムを提案し、常に存在する最良のMmS近似を保証する、画期的な概念「最適MmS」を導入する。さらに、エージェント数が固定されている場合の最適MmSに対するPTASを、並列マシンスケジューリングとの関連を用いて提示する。

ABSTRACT

We consider Max-min Share (MmS) allocations of items both in the case where items are goods (positive utility) and when they are chores (negative utility). We show that fair allocations of goods and chores have some fundamental connections but differences as well. We prove that like in the case for goods, an MmS allocation does not need to exist for chores and computing an MmS allocation - if it exists - is strongly NP-hard. In view of these non-existence and complexity results, we present a polynomial-time 2-approximation algorithm for MmS fairness for chores. We then introduce a new fairness concept called optimal MmS that represents the best possible allocation in terms of MmS that is guaranteed to exist. For both goods and chores, we use connections to parallel machine scheduling to give (1) an exponential-time exact algorithm and (2) a polynomial-time approximation scheme for computing an optimal MmS allocation when the number of agents is fixed.

研究の動機と目的

• 分割不能な雑務に対するMax-min Share（MmS）割り当ての存在性と計算可能性を調査すること。これは、これまでに研究されていなかった分野である。
• MmS割り当ての性質について、財と雑務の間で根本的な関係と相違点を明らかにすること、特に効用の符号反転の下での相違点を特に注目する。
• 雑務に対するMmS割り当ての非存在性と計算困難性に対処するため、新たな公平性概念「最適MmS」を導入する。
• 最適MmS公平性のための効率的な近似アルゴリズムを開発すること。具体的には、雑務に対する2-近似アルゴリズムと、固定エージェント数に対するPTASを含む。
• 並列マシンスケジューリングとの関連を活用して、財と雑務の両方に対する正確なアルゴリズムと近似アルゴリズムを導出すること。

提案手法

• MmS割り当てが存在する場合に常に存在する最良のMmS近似を保証する「最適MmS」という概念を導入し、MmS割り当てが存在する場合の公平性を保証する。
• 線形時間で実行可能なラウンドロビンアルゴリズムを提案し、雑務割り当てにおけるMmS公平性の2-近似を達成する。この近似の上限はタイトである。
• 3分割問題および整数分割問題への還元を用いて、財と雑務の両方におけるMmS割り当ての計算が強いかつてNP困難であることを証明する。
• MmS公平性と並列マシンスケジューリングとの関連を確立し、最適MmSのための指数時間の正確なアルゴリズムを設計する。
• 既に確立されたスケジューリングアルゴリズムを応用して、エージェント数が固定されている場合の最適MmSの多項式時間近似スキーム（PTAS）を構築する。
• 近似比の分析とPTASの正しさの証明に用いるために、正規化された効用変換 $ u_i'(S_i) = u_i(S_i) / MmS_{u_i}^N( ext{M}) $ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割不能な雑務に対するMmS割り当ては常に存在するのか？もし存在しない場合、代替の公平性保証として最良のものは何か？
• RQ2 財に対するMax-min Share公平性の概念を雑務に意味的に拡張可能か？その際、どのような根本的な相違点が生じるか？
• RQ3 雑務に対するMmS割り当ての計算の計算複雑性は何か？また、効率的な近似アルゴリズムを設計可能か？
• RQ4 MmS割り当てが存在する場合にそれを包含するが、常に達成可能な公平性概念を定義可能か？
• RQ5 エージェント数が固定されている場合、スケジューリング理論を用いて最適MmS公平性に対するPTASを設計可能か？

主な発見

• 雑務に対するMmS割り当ては常に存在しない。また、存在する場合でもその計算は強いかつてNP困難である。
• 線形時間のラウンドロビンアルゴリズムは、雑務割り当てにおけるMmS公平性の2-近似を達成でき、この近似の上限はタイトである。
• 最適MmSという概念が導入され、これは常に存在する公平性保証であり、MmS割り当てが存在する場合にはそれを包含する。
• 財と雑務の両方について、並列マシンスケジューリング理論を用いて最適MmSの指数時間の正確なアルゴリズムが導出された。
• エージェント数が固定されている場合の最適MmSに対する多項式時間近似スキーム（PTAS）が開発され、これはMmS公平性において初めての結果である。
• PTASは任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して $ (1 - \varepsilon) $ の近似比を達成し、従来の定数因子近似よりも顕著に改善されている。