[论文解读] Approximation Algorithms for Socially Fair Clustering

Yury Makarychev, Ali Vakilian|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2021

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一句话总结

本文提出了一种改进的 $(e^{O(p)}\frac{\log\ell}{\log\log\ell})$-近似算法，用于社会公平的 $\ell_p$-聚类问题，该问题旨在最小化所有人口群体中的最大聚类成本。通过引入一种具有 $\Theta(\frac{\log\ell}{\log\log\ell})$ 整数规划间隙的强化线性规划松弛，作者实现了首个与 $n$ 无关且对常数 $p$ 最优的近似保证（仅相差常数因子），显著优于先前的 $O(\ell)$-近似结果。

ABSTRACT

We present an $(e^{O(p)} \frac{\log \ell}{\log\log\ell})$-approximation algorithm for socially fair clustering with the $\ell_p$-objective. In this problem, we are given a set of points in a metric space. Each point belongs to one (or several) of $\ell$ groups. The goal is to find a $k$-medians, $k$-means, or, more generally, $\ell_p$-clustering that is simultaneously good for all of the groups. More precisely, we need to find a set of $k$ centers $C$ so as to minimize the maximum over all groups $j$ of $\sum_{u ext{ in group }j} d(u,C)^p$. The socially fair clustering problem was independently proposed by Ghadiri, Samadi, and Vempala [2021] and Abbasi, Bhaskara, and Venkatasubramanian [2021]. Our algorithm improves and generalizes their $O(\ell)$-approximation algorithms for the problem. The natural LP relaxation for the problem has an integrality gap of $Ω(\ell)$. In order to obtain our result, we introduce a strengthened LP relaxation and show that it has an integrality gap of $Θ(\frac{\log \ell}{\log\log\ell})$ for a fixed $p$. Additionally, we present a bicriteria approximation algorithm, which generalizes the bicriteria approximation of Abbasi et al. [2021].

研究动机与目标

• 为解决在多个人口群体间实现公平聚类的挑战，因为标准算法可能不成比例地增加某些群体的成本。
• 设计一种高效的社会公平 $\ell_p$-聚类近似算法，确保所有群体间性能均衡。
• 通过引入强化的线性规划形式，克服自然线性规划松弛的 $\Omega(\ell)$ 整数规划间隙。
• 实现一个与点数 $n$ 无关且对常数 $p$ 最优的近似比（仅相差常数因子）。
• 将先前关于公平 $k$-中位数和 $k$-均值的工作推广至一般 $\ell_p$-目标函数与任意权重。

提出的方法

• 为社会公平 $\ell_p$-聚类引入一种强化的线性规划松弛，包含群体特定的成本约束和分数中心开启变量。
• 采用 Charikar 等人（2002）的框架，将问题转化为一个等价实例，其中每个点都至少有 $1-\gamma$ 的分数中心开启。
• 应用独立采样方法，将分数线性规划解转化为 $k$ 个中心的整数解，利用集中不等式控制成本偏差。
• 利用 Bennett 不等式控制舍入过程中的尾部概率，确保群体成本偏差有界。
• 设计一种双准则近似算法，允许中心数量增加至 $(1/(1-\gamma))$ 倍，成本增加至 $e^{O(p)}/\gamma$ 倍，优于先前的双准则界。
• 证明对于固定 $p$，强化线性规划的整数规划间隙为 $\Theta(\frac{\log\ell}{\log\log\ell})$，与已知的下界结果一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种社会公平 $\ell_p$-聚类的近似算法，其近似比与 $n$ 无关且在 $\ell$ 上亚线性？
• RQ2 社会公平聚类的自然线性规划松弛的最优整数规划间隙是多少？能否通过强化方法改进？
• RQ3 我们能否将先前针对 $k$-中位数和 $k$-均值的 $O(\ell)$-近似算法推广至任意 $p$ 和加权群体？
• RQ4 能否实现一种双准则近似，平衡中心数量与成本，并获得更优的近似因子？
• RQ5 对 $k$-中位数问题的 $\Omega(\log\ell / \log\log\ell)$-难解性结果是否可推广至 $p > 1$ 的一般 $\ell_p$-聚类？

主要发现

• 本文提出了一种 $(e^{O(p)}\frac{\log\ell}{\log\log\ell})$-近似算法用于社会公平 $\ell_p$-聚类，优于先前的 $O(\ell)$-近似结果。
• 强化的线性规划松弛在固定 $p$ 下的整数规划间隙为 $\Theta(\frac{\log\ell}{\log\log\ell})$，与已知的下界结果一致。
• 对于社会公平 $k$-均值（$p=2$），该算法实现了 $O(\frac{\log\ell}{\log\log\ell})$-近似，优于先前工作的 $O(\ell)$-界。
• 对于社会公平 $k$-中位数（$p=1$），该算法实现了 $O(\frac{\log\ell}{\log\log\ell})$-近似，优于 Anthony 等人的 $O(\log n + \log \ell)$-界。
• 双准则近似算法实现了 $(e^{O(p)}/\gamma, 1/(1-\gamma))$-近似，推广并改进了先前的双准则结果。
• 对于常数 $p$，该算法的近似保证在常数因子内最优，因为 $\Omega(\frac{\log\ell}{\log\log\ell})$-难解性结果对 $p=O(1)$ 成立。