[論文レビュー] Approximation and billiards

Serge Troubetzkoy|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、力学系とディオファントス近似の近似技法を用いて、無理数多角形におけるビリヤード力学を研究する。特に一般化された平行四辺形を対象とし、有理数近似を用いて、典型的な多角形における位相的転送性が一般に成り立つことを示し、再帰集合が小さい方向の集合のボックス次元がディオファントス近似の性質によって有界であることを証明する。ハウスドルフ次元の結果により、このような方向や角度が豊富に存在することが示される。

ABSTRACT

This survey is based on a series of talks I gave at the conference "Dynamical systems and diophantine approximation" at l'Instut Henri Poincar\\'e in June 2003. I will present asymptotic results (transitivity, ergodicity, weak-mixing) for billiards based on the approximation technique developed by Katok and Zemlyakov. I will also present approximation techniques which allow to prove the abundance of periodic trajectories in certain irrational polygons.

研究の動機と目的

• 有理数近似を用いて、典型的な無理数多角形におけるビリヤードフローの一般性のある位相的転送性を確立すること。
• 非一様ディオファントス近似を用いて、無理数平行四辺形における周期軌道の出現頻度を分析すること。
• 再帰集合が小さい方向および角度の集合のサイズを、フラクタル次元論を用いて定量的に評価すること。
• 力学系と数論を結びつけるために、ディオファントス近似条件によって定義される集合のハウスドルフ次元に関する新しい結果を導出し、それらをビリヤード力学に応用すること。
• カトック＝ゼムリャコフ近似法を無理数多角形に拡張し、例外的である方向の集合の次元に関する境界を得ること。

提案手法

• カトック＝ゼムリャコフ構成を用いて、有理数多角形におけるビリヤード軌道を、特異点を持つ平坦な多様体上の直線的フローに展開する。
• 無理数多角形を有理数多角形で近似することで、パrameter空間のコンパクト部分集合における稠密Gδ集合を介して、一般性のある位相的転送性を証明する。
• 非一様ディオファントス近似を用いて、一般化された平行四辺形におけるビリヤード軌道の再帰的性質を分析する。
• ボックス次元およびハウスドルフ次元論を用いて、再帰集合が小さい方向および角度の例外的集合のサイズを定量的に評価する。
• 最近のメトリックディオファントス近似の結果（特に同時近似条件によって定義される集合の次元）を、ビリヤード力学に応用する。
• 不変な表面構成を用いて、ビリヤード軌道の研究を、移行多様体上の線形フローの力学に還元し、幾何学的および数論的道具の使用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無理数多角形におけるビリヤードの位相的転送性は一般的なものであり、有理数多角形による近似によって証明可能か？
• RQ2 固定された無理数平行四辺形において、再帰集合が小さい（再帰時間集合のボックス次元が小さい）方向はどれくらいの数存在するか？
• RQ3 固定された方向θ₀に対して、その方向における再帰集合が小さい一般化された平行四辺形は、どれくらいの数存在するか？
• RQ4 与えられた平行四辺形における再帰集合が小さい方向の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ5 非一様ディオファントス近似の結果は、無理数多角形におけるビリヤード軌道の幾何学的・力学的性質にどのように応用可能か？

主な発見

• 位相的転送性は多角形空間において一般的である：任意のコンパクト集合に対する多角形の集合において、稠密な軌道を持つ多角形の集合は稠密Gδ集合である。
• 固定された一般化された平行四辺形（無理数角α）に対し、θがμ-良い近似可能（||(θ + pα)/π|| < p^{-μ} が無限に多くの解を持つ）ならば、F_θ ∩ U_θ の下位ボックス次元は1/(μ+1)以下である。
• dim_{LB}(F_θ ∩ U_θ) ≤ s を満たす方向θの集合のハウスドルフ次元は、s ∈ [0, 1/2] に対して少なくともs/(1−s)以上である。
• 固定された方向θ₀に対して、dim_{LB}(F_θ₀ ∩ U_θ₀) < s を満たす角度αの集合のハウスドルフ次元は、s ∈ [0, 1/2] に対して少なくとも2s以上である。
• 再帰集合が小さい方向の集合は残渣的であり、ボックス次元が1に等しく、トポロジー的意味でその豊富さが示される。
• 本論文は、メトリックディオファントス近似における新しい結果を確立する：dim_H(𝒜_{μ,ω}) = 1/μ および dim_H(ℬ_{μ,t}) = 2/(1+μ) （μ > 1）であり、これらはビリヤード力学に応用される。