[논문 리뷰] Approximation by (p,q)-Lorentz polynomials on a compact disk

M. ‎Mursaleen, Faisal Khan외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 20.

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한 줄 요약

이 논문은 (p,q)-계산을 사용하여 복소변수로 일반화된 고전적 Lorentz 연산자의 일반화로 (p,q)-Lorentz 다항식을 도입한다. 이는 복소평면의 컴팩트 디스크 위에서 해석 함수에 대해 정량적인 Voronovskaja 유형의 근사 정리와 정확한 수렴 차수를 확립한다. 주요 결과는 근사 오차가 $\frac{mp^n}{[n]_{p,q}}$ 의 속도로 감소하며, $\frac{m_np^n}{[n]_{p,q}} \to 0$ 일 때 수렴이 보장된다는 것이다. 이 틀은 이전의 q-대체 결과들을 통합하고 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new analogue of Lorentz polynomials based on (p,q)-integers and we call it as (p,q)-Lorentz polynomials. We obtain quantitative estimate in the Voronovskaja's type thoerem and exact orders in simultaneous approximation by the complex (p,q)-Lorentz polynomials of degree n, where q > p > 1 attached to analytic functions in compact disks of the complex plane.

연구 동기 및 목표

• (p,q)-계산 기반의 새로운 복소다항식 연산자 클래스를 개발하여 고전적 Lorentz 연산자를 일반화한다.
• 복소평면의 컴팩트 디스크 위에서 해석 함수에 대해 Voronovskaja 의미의 정량적 근사 추정을 수립한다.
• (p,q)-Lorentz 연산자의 반복에 대한 동시 근사의 정확한 차수와 수렴 속도를 규명한다.
• 기존의 q-계산 기반 근사 결과를 더 일반적인 (p,q)-틀로 확장하며, 특히 해석 함수에 대해 적용한다.

제안 방법

• (p,q)-정수, (p,q)-이항계수, (p,q)-미분을 사용하여 (p,q)-Lorentz 다항식 연산자 $L_{n,p,q}(f;z)$ 를 정의한다.
• 해석 함수 $f(z) = \sum c_k z^k$ 의 테일러 계수 $c_k$ 를 이용해 연산자를 급수 전개 형태로 표현한다.
• 컴팩트 디스크 $|z| \leq r$ 에서의 초월 노름에서 오차 추정을 유도하기 위해 코시 추정과 $[n]_{p,q}$ 의 경계를 사용한다.
• 모든 $0 \leq A \leq 1$ 에 대해 $1 - A^n \leq n(1 - A)$ 인 식을 적용하여 연산자의 반복의 감쇠를 제어한다.
• 연도 $n \to \infty$ 에서의 $\frac{m_n p^n}{[n]_{p,q}}$ 의 渐近적 행동을 분석함으로써 수렴성을 확립한다.
• 복소해석학 도구, 특히 경로적분과 계수 추정을 사용하여 근사 오차의 날카운 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 Lorentz 연산자는 어떻게 복소평면에서 (p,q)-계산 틀로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 (p,q)-Lorentz 다항식의 수렴 속도는 컴팩트 디스크 위의 해석 함수에 대해 정확히 얼마인가?
• RQ3 (p,q)-Lorentz 연산자의 반복은 渐진적으로 어떻게 행동하며, 어떤 조건에서 균일 수렴하는가?
• RQ4 (p,q)-Lorentz 다항식에 대한 Voronovskaja 유형 정리의 정확한 정량적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 근사 오차는 $\left|L_{n,p,q}(f)(z) - f(z)\right| \leq \frac{p^n}{[n]_{p,q}} M_{r_1,p,q}(f)$ 를 만족하며, $|z| \leq r$ 에서 성립하며, 여기서 $M_{r_1,p,q}(f) = \frac{p(q-p+1)}{(q-p)^2} \sum_{k=0}^\infty |c_k|(k+1)r_1^k$ 이다.
• 동시 근사의 경우 오차 경계는 $\left|L_{n,p,q}^{(m)}(f)(z) - f^{(m)}(z)\right| \leq \frac{p^n}{[n]_{p,q}} M_{r_1,p,q}(f) \frac{m! r^*}{(r^* - r)^{m+1}}$ 로 주어진다.
• 반복의 경우 오차는 $\left\|L_{n,p,q}^{(m)}(f) - f\right\|_r \leq \frac{mp^n}{[n]_{p,q}} \frac{q-p+1}{(q-p)^2} \sum_{k=0}^\infty |c_k|(k+1)r_1^k$ 로 경계된다.
• 반복의 수렴은 $\lim_{n \to \infty} \frac{m_n p^n}{[n]_{p,q}} = 0$ 일 때 성립하며, 이는 $\left\|L_{n,p,q}^{(m_n)}(f) - f\right\|_r \to 0$ 을 보장한다.
• 결과는 Gal의 q-대체 결과를 일반화하고, 해석 함수에 대해 더 넓은 (p,q)-틀으로 확장한다.
• 이 틀은 정확한 근사 차수를 달성하며, 수렴 속도는 $p^n / [n]_{p,q}$ 에 따라 달라지며, 이는 $p > 1$ 일 때 지수적으로 감소한다.