[論文レビュー] Approximation for Maximum Surjective Constraint Satisfaction Problems

Walter D. Bach, Hang Zhou|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブール領域および3要素領域における最大全射制約充足問題（Max-Sur-CSP）の複雑さの二分岐を確立し、各問題が多項式時間近似スキーム（PTAS）にあるか、APX完全であることを示している。著者らは、Max-Sur-CSPが二分岐仮定の下でMax-CSPの近似特性を継承することを証明し、標準的なCSPとは異なり、NP困難なMax-Sur-CSP問題であっても効率的な近似スキームを有することが明らかになった。

ABSTRACT

Maximum surjective constraint satisfaction problems (Max-Sur-CSPs) are computational problems where we are given a set of variables denoting values from a finite domain B and a set of constraints on the variables. A solution to such a problem is a surjective mapping from the set of variables to B such that the number of satisfied constraints is maximized. We study the approximation performance that can be acccchieved by algorithms for these problems, mainly by investigating their relation with Max-CSPs (which are the corresponding problems without the surjectivity requirement). Our work gives a complexity dichotomy for Max-Sur-CSP(B) between PTAS and APX-complete, under the assumption that there is a complexity dichotomy for Max-CSP(B) between PO and APX-complete, which has already been proved on the Boolean domain and 3-element domains.

研究の動機と目的

• 有限領域における最大全射制約充足問題（Max-Sur-CSP）の近似可能性を分類すること。
• 全射性制約が標準的なMax-CSPと比較して近似複雑性に与える影響を調査すること。
• ブール領域および3要素領域におけるMax-Sur-CSP問題がPTASまたはAPX完全クラスに属するかどうかを特定すること。
• NP困難なMax-Sur-CSP問題が依然としてPTASを有する可能性を探索し、標準的なMax-CSPからの直観に反する事実を明らかにすること。

提案手法

• ブール領域および3要素領域におけるMax-CSPの既知の複雑さの二分岐（PO対APX完全）を基礎的仮定として用いる。
• Max-Sur-CSPの近似比をMax-CSPのそれと比較し、近似不能性または近似可能性の結果を導出する。
• 定数比近似アルゴリズムを用いて、すべてのMax-Sur-CSP問題がAPXに属することを示す。
• 特定のケースにおいて、Max-Sur-CSPをグラフ上の最小カット問題に還元することで、多項式時間近似スキームを構築する。
• 関係的テンプレートの構造的性質（例：弱正性、適合性）を用いて、 tractable と hard なケースを分類する。
• Sur-CSPからMax-Sur-CSPへの還元を適用し、特定の関係的構造に対してNP困難性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下でMax-Sur-CSP(𝐵)はAPX完全ではなくPTASに属するか？
• RQ2 Max-CSP(𝐵)が多項式時間で解ける場合でも、NP困難なMax-Sur-CSP問題がPTASを有する可能性はあるか？
• RQ3 全射性制約は、標準的なMax-CSPと比較して近似複雑性をどのように変化させるか？
• RQ4 小規模な領域におけるMax-Sur-CSP(𝐵)について、PO、NP困難だがPTAS、APX困難の三つに分類される複雑さの三段階分類があるか？
• RQ5 Max-CSP(𝐵)の近似閾値r₀が与えられたとき、Max-Sur-CSP(𝐵)は多項式時間r₀近似可能か？

主な発見

• ブール領域および3要素領域におけるMax-Sur-CSP(𝐵)は、複雑さの二分岐を示す：すべての問題はPTASに属するか、APX完全である。
• NP困難なMax-Sur-CSP(𝐵)問題がPTASに属する例が存在し、全射性が困難な問題を効率的に近似可能にする可能性を示している。
• Max-CSP(𝐵)の近似閾値がMax-Sur-CSP(𝐵)の近似可能性を決定づけ、r < r₀のときr-近似可能で、r > r₀のときr-近似不能である。
• Max-CSP(𝐵)がPOにある関係的構造𝐵に対して、Max-Sur-CSP(𝐵)はNP困難であるがPTASに属する可能性があり、ブール領域における3項関係によって示された。
• Minimum-Asymmetric-CutおよびMinimum-Rainbow-Coloring問題は、NP困難だがPTASに属するMax-Sur-CSP(𝐵)問題の例である。
• Max-CSP(𝐵)の近似閾値r₀が与えられたとき、Max-Sur-CSP(𝐵)が多項式時間r₀近似可能かどうか、および小規模な領域におけるMax-Sur-CSP(𝐵)に三段階分類が存在するかは、本稿で未解決のまま残っている。