[論文レビュー] Approximation Schemes for Minimizing the Maximum Lateness on a Single Machine with Release Times under Non-Availability or Deadline Constraints

Imed Kacem, Hans Kellerer|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2017

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 28被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、リリース時間を伴う4つの単一マシンスケジューリング問題について、共通の締切、非稼働期間（マシンまたはオペレータによる）、および二重基準目的関数を含む制約のもとで最大遅れを最小化することを目的として、多項式時間近似スキーム（PTAS）を提示する。著者らは、ジョブの分割、戦略的な時間窓の離散化、動的計画法を活用することで、各変種についてPTASを設計し、任意のε>0に対して(1+ε)-近似解が多項式時間で得られることを証明している。

ABSTRACT

In this paper, we consider four single-machine scheduling problems with release times, with the aim of minimizing the maximum lateness. In the first problem we have a common deadline for all the jobs. The second problem looks for the Pareto frontier with respect to the two objective functions maximum lateness and makespan. The third problem is associated with a non-availability constraint. In the fourth one, the non-availibility interval is related to the operator who is organizing the execution of jobs on the machine (no job can start, and neither can complete during the operator non-availability period). For each of the four problems, we establish the existence of a polynomial time approximation scheme (PTAS).

研究の動機と目的

• リリース時間と締切または非稼働期間に関する制約を伴う4つの挑戦的な単一マシンスケジューリング問題に対処すること。
• 実際の運用制約（メンテナンスウィンドウやオペレータの稼働可否など）を反映する中で、スケジューリングにおける重要な性能指標である最大遅れを最小化すること。
• 産業現場で一般的なリリース時間と非稼働期間を含めるように、既存の近似アルゴリズムを拡張すること。
• 4つの問題変種それぞれに対してPTASの存在を証明し、任意のε>0に対して多項式時間内に(1+ε)-近似解が得られることを保証すること。

提案手法

• 各問題変種について、特に非稼働期間を跨ぐジョブ（ストラッピングジョブ）の実行可能開始時間の時間窓を離散化することで、PTASを設計する。
• 探索空間を削減するため、潜在的なストラッピングジョブを特定し、その開始時刻を有界な時間窓内で固定するための推定戦略を用いる。
• 各推定された開始時刻に対して、問題を以前に解決済みの問題（例：マシン非稼働）の同等のインスタンスに変換し、既知のPTASを適用する。
• ストラッピングジョブの開始時刻の時間窓をO(1/ε)個の部分区間に分割することで、近似誤差が最適解のε以内に保たれることを保証する。
• 離散化された時間窓から得られるすべての候補解の中から最良の解を選択することで、最終的な解を得る。これにより(1+ε)-近似が保証される。
• 構造的洞察（例：非稼働期間より長い処理時間を有するジョブは重要である）に依拠し、小規模なジョブ集合に対する動的計画法や列挙を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リリース時間を伴い、すべてのジョブに共通の締切がある単一マシンスケジューリング問題に対して、最大遅れを最小化するPTASは存在するか？
• RQ2 リリース時間を伴う下で、マケスピーや最大遅れの両方を最小化する二重基準問題に対して、PTASを設計できるか？
• RQ3 固定された期間に処理ができないマシン非稼働期間を伴うスケジューリング問題に対して、PTASは存在するか？
• RQ4 開始または完了が禁止される期間があるオペレータ非稼働期間を伴うスケジューリング問題に対して、PTASは構築可能か？
• RQ5 非稼働期間を跨ぐジョブを制約違反なく処理できるように、近似スキームをどのように適合できるか？

主な発見

• リリース時間と共通の締切を伴う単一マシンスケジューリング問題に対して、任意のε>0に対して多項式時間内に(1+ε)-近似解が得られるPTASが存在する。
• リリース時間を伴うマケスピーや最大遅れの両方を最小化する二重基準問題に対してもPTASが確立され、トレードオフ分析が可能になる。
• マシン非稼働期間を伴う問題では、問題を同等のインスタンスに変換し、時間の離散化を用いることでPTASを構築する。
• 開始または完了が禁止される期間を伴うオペレータ非稼働期間の問題では、ストラッピングジョブに焦点を当て、その開始時刻の時間窓を離散化することでPTASを構築する。
• 近似スキームは、すべての4つの問題変種に対して(1+ε)-近似を達成し、入力サイズおよび1/εに関して多項式時間の実行時間を有する。
• リリース時間を組み込み、以前に未解決であった問題に対してPTASの存在を証明することで、非稼働スケジューリングに関する先行研究を拡張する。