[論文レビュー] Approximation schemes for mixed optimal stopping and control problems with nonlinear expectations and jumps

Roxana Dumitrescu, Christoph Reisinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限活性なジャンプを伴う非線形期待における混合最適停止および制御問題のための新しい数値スキームを提案する。時間分割法としての区分的定数制御時間ステッピング（PCPT）と、拡散項および非局所項に対して完全に陰的な単調スキームを組み合わせ、勾配非線形性にはLax-Friedrichsスキームを用いることで、収束性を保証し、得られるスイッチング系の解の存在に対する構成的証明が可能となる。

ABSTRACT

We propose a class of numerical schemes for mixed optimal stopping and control of processes with infinite activity jumps and where the objective is evaluated by a nonlinear expectation. Exploiting an approximation by switching systems, piecewise constant policy timestepping reduces the problem to nonlocal semi-linear equations with different control parameters, uncoupled over individual time steps, which we solve by fully implicit monotone approximations to the controlled diffusion and the nonlocal term, and specifically the Lax-Friedrichs scheme for the nonlinearity in the gradient. We establish a comparison principle for the switching system and demonstrate the convergence of the schemes, which subsequently gives a constructive proof for the existence of a solution to the switching system. Numerical experiments are presented for a recursive utility maximization problem to demonstrate the effectiveness of the new schemes.

研究の動機と目的

• 非線形期待と無限活性ジャンプ過程を含む混合最適停止および制御問題に対する堅牢な数値手法の開発。
• モデル不確実性下での再帰的効用最大化およびロバストリスク評価に起因する完全非線形PIDEを解く課題に取り組む。
• 新規近似スキームの収束から解の存在に関する構成的証明を提供する。
• 従来の線形期待のケースを超えて、特にBSDEフレームワークにおける非線形ドライバに一般化する数値手法の拡張。
• ドライバおよびジャンプ係数に対して一般のリプシッツ条件が成り立つ場合のスキームの安定性と収束性を保証する。

提案手法

• 区分的定数制御時間ステッピング（PCPT）を用いて、制御問題を離散時間ステップごとの非局所的半線形方程式の系列に分解する。
• 制御された拡散項および非局所ジャンプ成分を近似するために、完全に陰的な単調有限差分スキームを適用する。
• ジャンプ付きBSDEにおけるドライバに起因する勾配項の非線形性を扱うために、Lax-Friedrichsスキームを用いる。
• 異なる制御行動間の値関数を結合するスイッチング系の定式化を構築し、ポリシー反復に類似した収束を可能にする。
• スイッチング系に対して比較原理を確立することで、数値スキームの解の一意性と収束性を保証する。
• ジャンプ付きBSDE解に関する事前推定と安定性バウンドを用いて、小さなジャンプを近似することに起因する誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形期待と無限活性ジャンプを伴う混合最適停止および制御問題に対して、収束する数値スキームを構築可能か？
• RQ2 半滑らかさが成り立たない状況下で、ドライバおよび勾配項の非線形性をどのように堅牢に扱えるか？
• RQ3 小さなジャンプの近似が、スキーム全体の収束性および安定性に与える影響は何か？
• RQ4 数値スキームの収束から、解の存在に関する構成的証明を導出可能か？
• RQ5 一般の非線形ドライバに適用可能な点で、標準的な「離散化してから最適化する」手法と比較して、本手法の堅牢性と適用範囲はどのように異なるか？

主な発見

• 提案スキームは、ドライバおよびジャンプ係数のリプシッツ連続性を含む一般の仮定のもとで、非線形HJB変分不等式の粘性解に収束する。
• スイッチング系に対して比較原理が確立され、粘性解の一意性が保証される。
• 近似列の収束を根拠として、スイッチング系の解の存在に関する構成的証明が得られる。
• 小さなジャンプの切断による非線形期待の近似誤差は、$ C(\rho(\rho))^{1/4} $ で有界であり、ここで $ \rho $ はジャンプサイズの閾値を制御する。
• 数値実験により、ジャンプを伴う再帰的効用最大化問題と非線形期待を解く本スキームの有効性が確認された。
• 本手法は、半滑らでない非線形ドライバを含む一般のケースに対しても効果的に処理でき、ニュートン型ソルバーの制限を克服した。