[論文レビュー] Arc-like continua, Julia sets of entire functions, and Eremenko's Conjecture

Lasse Rempe|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、非交差型整関数のジュリア集合の位相的構造を調査し、各連結成分が無限大を加えてコンパクト化された場合、弱い幾何的条件下のもとでスパンがゼロの連続体となり、弧的であることを証明する。また、特定の一つの関数を構成し、そのジュリア集合が、sin(1/x)-曲線、擬弧、バケツハンドルなど、端点を持つすべての弧的連続体を実現することを示し、この力学的設定におけるこれらの位相的構造の普遍性を示している。

ABSTRACT

A hyperbolic transcendental entire function with connected Fatou set is said to be "of disjoint type". It is known that a disjoint-type function provides a model for the dynamics near infinity of all maps in the same parameter space; hence a good understanding of these functions has implications in wider generality. Our goal is to study the topological properties of the Julia sets of entire functions of disjoint type. In particular, we give a detailed description of the topology of their connected components. More precisely, consider a "Julia continuum" C of such a function, i.e. the closure in the Riemann sphere of a component of the Julia set. We show that infinity is a terminal point of C, and that C has span zero in the sense of Lelek; under a mild geometric assumption on the function C is arc-like. (Whether every span zero continuum is also arc-like was a famous question in continuum theory, only recently resolved in the negative.) Conversely, we construct a single disjoint-type entire function with the remarkable property that each arc-like continuum with at least one terminal point is realised as a Julia continuum. The class of arc-like continua with terminal points is uncountable. It includes, in particular, the sin(1/x)-curve, the Knaster buckethandle and the pseudo-arc, so these can all occur as Julia continua of a disjoint-type entire function. We give similar descriptions of the possible topology of Julia continua that contain periodic points or points with bounded orbits, and answer a question of Barański and Karpińska by showing that Julia continua need not contain points that are accessible from the Fatou set. Furthermore, we construct an entire function whose Julia set has connected components on which the iterates tend to infinity pointwise, but not uniformly. This is related to a famous conjecture of Eremenko concerning escaping sets of entire functions.

研究の動機と目的

• 非交差型整関数のジュリア集合の連結成分の位相的構造を特徴づけること。
• 各ジュリア成分を無限大を加えてコンパクト化した場合、それがスパンがゼロの連続体であるか、あるいは弧的であるかを特定すること。
• すべての端点を持つ弧的連続体（例えば、sin(1/x)-曲線、擬弧、バケツハンドルなど）をそのジュリア成分として実現する単一の非交差型整関数を構成すること。
• ジュリア集合の点がファトウ集合から到達可能かどうか、および無限大への脱出の均一性に関する未解決問題を解消すること。
• エレメンコの予想に関連して、特定の連結ジュリア成分において脱出が一様でない反例を提供すること。

提案手法

• リーマン球に無限大を加えたコンパクト化された球面上での非交差型整関数の力学を、共形力学と双曲幾何を用いて分析する。
• レレックのスパンゼロ連続体理論および最近の連続体論の結果（例えば、フーヘンによるレレック予想の反例）を応用し、ジュリア連続体を分類する。
• トレクトとリーマン面構造の再帰的構成を用い、区分的線形近似と制御された辺の分割を用いて有界幾何を保証する。
• シュットキー型の貼り合わせプロセスを用いて単一の整関数を構成し、すべての望ましい弧的連続体がジュリア集合の成分として現れるようにする。
• 帰納的に構成を修正し、辺のτ長を制御し、普遍被覆上の測地線が境界から一様に離れていることを保証する。
• 有界装飾条件および補題8を用いて、関数がある幾何的制約を満たす場合、すべてのジュリア連続体が擬弧であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非交差型整関数のジュリア集合の連結成分として現れる連続体の位相的型は、どのようなものがあるか？
• RQ2 無限大を加えてコンパクト化したジュリア成分は、常に弧的連続体またはスパンゼロ連続体か？
• RQ3 単一の非交差型整関数が、非可算個の異なる弧的連続体をそのジュリア成分として実現できるか？
• RQ4 無限大へ脱出するジュリア集合のすべての点が、それらを無限大と結ぶ弧上にあるのか。これは成分ごとに一様に成り立つか？
• RQ5 非交差型整関数において、反復写像が各連結ジュリア成分上で点wiseに無限大へ向かうが、一様に向かわないようなものが存在するか？

主な発見

• 非交差型整関数のジュリア集合の任意の連結成分 $ C $ に対して、$ \hat{C} = C \cup \{\infty\} $ は、レレックの意味でスパンがゼロである。
• 弱い幾何的仮定（有界装飾）のもとで、$ \hat{C} $ は弧的であり、$ \infty $ は $ \hat{C} $ の端点である。
• すべての端点を持つ弧的連続体（$ \sin(1/x) $-曲線、擬弧、バケツハンドルを含む）が、ある非交差型整関数 $ f $ の $ \hat{J}(f) $ の連結成分として現れるような単一の関数 $ f $ が存在する。
• このような連続体のクラスは非可算であり、構成によりそのすべてが一つの関数内で実現されている。
• 本稿では、ある連結ジュリア成分上で反復写像が点wiseに無限大へ向かうが、一様でない非交差型整関数を構成し、バランスキとカラピンスカの質問に答えている。
• ジュリア連続体がファトウ集合から到達可能な点を含むとは限らず、バランスキとカラピンスカが提起した問いに対して否定的に解決された。