[論文レビュー] Arens Regularity of Module Actions and the Second Adjoit of a Derivation

Somayeh Mohammadzadeh, Hamid Reza Ebrahimi Vishki|ArXiv.org|Nov 10, 2007

Advanced Banach Space Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ノルム空間上の有界双線形写像のArens正則性に関する新しい基準を確立し、双線形写像 $ f $ がArens正則であることと、$ f^{****}(Z^*, X^{**}) \subseteq Y^* $ が成り立つことが同値であることを示している。この基準を応用して、双対Banach加群 $ X^* $ への導分 $ D: A \to X^* $ の第二双対が再び導分であるための必要十分条件を導出し、既存の結果を一般化するとともに、既知の定理の直接的証明を提供している。

ABSTRACT

In this paper, first we give a simple criterion for the Arens regularity of a bilinear mapping on normed spaces, which applies in particular to Banach module actions and then we investigate those conditions under which the second adjoint of a derivation into a dual Banach module is again a derivation. As a consequence of the main result, a simple and direct proof for several older results is also included.

研究の動機と目的

• ノルム空間上の有界双線形写像のArens正則性のための、新しいかつ単純な基準を提供すること。
• 双対Banach加群 $ X^* $ への導分 $ D: A \to X^* $ の第二双対 $ D^{**} $ が再び導分である条件を調査すること。
• Banach加群理論におけるArens正則性および導分に関する既知の複数の結果を一般化し、それらの直接的証明を提供すること。
• 特殊ケース $ X = A $ からの結果を一般のBanach $ A $-加群へと拡張すること。

提案手法

• Arens正則性の新しい特徴付けを導入：$ f: X \times Y \to Z $ が有界双線形写像であるとき、$ f $ が正則であることと、$ f^{****}(Z^*, X^{**}) \subseteq Y^* $ が成り立つことが同値である。
• この基準をBanach加群作用に適用し、両方のArens積に関して、$ A $ から $ A^{**} $ への加群作用の自然な拡張を導出する。
• Arens積の構造を用いて、導分 $ D: A \to X^* $ の第二双対 $ D^{**} $ を分析し、$ X^{***} $ におけるその挙動に注目する。
• $ D^{**} $ が導分であることと、$ \pi_2^{****}(D^{**}(A^{**}), X^{**}) \subseteq A^* $ が成り立つことが同値であることを示し、双対性および弱*位相の議論を用いる。
• 弱コンパクト性と加群作用の正則性を活用して、$ D^{**} $ が導分であるための十分条件を導出する。
• ネットの弱*極限を用いて表される $ f^{***} $ と $ f^{r***r} $ の双対性を用いて、正則性を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対Banach加群 $ X^* $ への導分 $ D: A \to X^* $ の第二双対 $ D^{**} $ が再び導分であるための条件は何か？
• RQ2 導分の第二双対が第二双対において導分性を保つための必要十分条件は何か？
• RQ3 加群作用のArens正則性と導分の第二双対の正則性の関係は何か？
• RQ4 基準 $ f^{****}(Z^*, X^{**}) \subseteq Y^* $ を用いて、導分のArens正則性に関する既知の結果を一般化できるか？
• RQ5 導分の弱コンパクト性が $ D^{**} $ が導分であることを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 有界双線形写像 $ f: X \times Y \to Z $ がArens正則であることと、$ f^{****}(Z^*, X^{**}) \subseteq Y^* $ が成り立つことが同値であり、正則性のための新しいかつ簡潔な基準が得られた。
• 導分 $ D: A \to X^* $ の第二双対 $ D^{**} $ が導分であることと、$ \pi_2^{****}(D^{**}(A^{**}), X^{**}) \subseteq A^* $ が成り立つことが同値であり、これはDales, Rodriguez-Palacios, Velascoの結果を一般化している。
• 加群作用 $ \pi_2 $ がArens正則であれば、$ D^{**} $ は $ (A^{**}, \Box) $ において導分であり、$ \pi_1 $ が正則であれば、$ D^{**} $ は $ (A^{**}, \lozenge) $ において導分である。これは既存の結果を拡張している。
• 弱コンパクトな導分に対しては、$ \pi_2 $ もしくは $ \pi_1 $ の正則性がそれぞれのArens積構造において $ D^{**} $ が導分であることを保証するのに十分である。
• 内導分 $ D: A \to X^* $ は、加群作用がArens正則であれば弱コンパクトであり、その第二双対は両方のArens積構造 $ (A^{**}, \Box) $ および $ (A^{**}, \lozenge) $ においても内導分のままである。
• 本論文は、新しい正則性基準と双対性技法を用いて、Dalesら[10]のいくつかの古い結果について直接的証明を提供している。