[논문 리뷰] Arithmetic Geometry and Analysis on Foliated Spaces

Christopher Deninger|ArXiv.org|2005. 05. 17.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 28인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$ 위의 스킴에 대한 산술 zeta 함수에 대해, 층이 있는 다각형 다변화 공간 위의 동역학계와의 유사성에 기반한 코homological 프레임워크를 제안한다. 일부 동역학계의 축소된 리브 위의 코homology가 모티브 코hom로 기대되는 성질을 반영하고 있음을 보이며, 추측된 산술 L-함수와 일치하는 Lefschetz 유형의 추적 공식을 도출함으로써, 수체의 L-함수를 뒷받침하는 깊이 있는 기하적 구조가 존재할 가능성을 시사한다.

ABSTRACT

This report on the topics in the title was written for a lecture series at the Southwestern Center for Arithmetic Algebraic Geometry at the University of Arizona.It may serve as an introduction to certain conjectural relations between number theory and the theory of dynamical systems on foliated spaces. The material is based on streamlined and updated versions of earlier papers on this subject.

연구 동기 및 목표

• 특성 0 에서의 $l$-adic 코homology와 유사한, $\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$ 위의 대수적 스킴에 대한 코homological 형식론을 개발하는 것.
• Hasse–Weil zeta 함수의 추측되는 성질(예: 함수방정식, 특수값 공식)이 이러한 형식론을 통해 어떻게 실현될 수 있는지 설명하는 것.
• 모티브 코호몰로지에서 예상되는 구조적 성질을 띠는, 층이 있는 다변화 다각형 다변화 공간 위의 동역학계를 특정하는 것.
• 동역학 흐름의 고정점과 아르키메데스 성질 사이의 대응관계를 설정하여 기하학적 구조를 산술과 연결하는 것.
• 산술 동역학과 산술 위상수학 사이의 연결 고리를 L-함수 행동의 유사성에 기반해 탐색하는 것.

제안 방법

• 평탄한 스킴 $\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$ 에서의 동역학계로의 함의적 대응을 제안하며, 흐름 $\phi^t$ 와 자기사상 $\sigma$ 를 포함한다.
• 특수한 층이 있는 구조에서의 축소된 리브 위의 코호몰로지를 모티브 코호몰로지의 후보로 사용한다. 특히 $H^i_c(U,F)$ 와 같은 콤팩트 지지 코호몰로지에 대해 적용한다.
• 동역학계에서의 자기사상 $\phi^s\sigma$ 에 대해 Lefschetz 고정점 공식을 적용하여 고정점 집합 위에서의 추적 공식을 도출한다.
• $\mathrm{Tr}((\sigma,e)^* \mid H^\bullet_c(U,F))$ 를 위한 추적 공식을 유도하며, 이는 $\phi$-고정점과 $\sigma$-고정점 위에서의 부호 요소 $\varepsilon_x(\sigma)$ 를 합산한다.
• 동역학적 추적 공식을 추측된 Bloch–Kato 및 Soulé 공식(특수값에 대한)과 비교한다.
• 동역학 공간에서 $\phi^t$ 의 고정점 집합이 $\mathcal{X}_\infty = \mathcal{X} \otimes \mathbb{R}$ 와 일치한다고 가정한다. 즉, 아르키메데스 성질을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산술 기하학에서 $\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$ 위의 스킴에 대해 층이 있는 다변화 공간 위의 동역학계를 이용하여 코호몰로지 형식론을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 동역학계의 축소된 리브 위의 코호몰로지 군이 모티브 코호몰로지에서 예상되는 구조적 성질을 만족하는가?
• RQ3 Hasse–Weil zeta 함수의 함수방정식이 동역학적 추적 공식에 의해 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ4 동역학계의 고정점 데이터로부터 L-함수의 특수값을 복원할 수 있는가?
• RQ5 동역학적 추적 공식의 부호 요소 $\varepsilon_x(\sigma)$ 는 함수방정식의 부호와 같은 산술 불변량과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 흐름 $\phi^t$ 가 고정점을 갖지 않는 한, $H^\bullet_c(\mathcal{X}_{\mathrm{dyn}}, \mathbb{Q})$ 의 콤팩트 지지 코호몰로지 위에서 $\sigma^*$ 의 추적은 0이 된다. 이는 아르키메데스 완비화에서 유한 소수의 부재와 일치한다.
• 부드러운 일반 성질을 가지며 $\mathcal{X}_\infty$ 에서 비퇴화된 고정점이 존재하는 스킴에 대해, 동역학적 추적 공식은 $\mathrm{Tr}(\sigma^* \mid H^\bullet(\overline{\mathcal{X}}_{\mathrm{dyn}}, j_*\mathbb{Q})) = \sum_{\sigma x = x} \varepsilon_x(\sigma)$ 를 도출하며, 이는 산술 공식 (49) 과 일치한다.
• 동역학 공간 $\mathcal{X}_{\mathrm{dyn}}$ 에서 흐름 $\phi^t$ 의 고정점 집합은 $\mathcal{X}_\infty = \mathcal{X}(\mathbb{C}) / \langle F_\infty \rangle$ 와의 일대일 대응이 되어야 한다는 추측이 제기된다. 즉, 아르키메데스 순서의 집합이다.
• 동역학 공식의 부호 요소 $\varepsilon_x(\sigma)$ 는 Bloch–Kato 공식 (43) 의 산술 부호 요소와 일치한다. 이는 두 프레임워크 간의 일관성을 시사한다.
• 코호몰로지의 호모토피 불변성으로 인해 동역학적 추적 공식은 $s$ 에 대해 독립적이다. 이는 L-함수 행동과 기하 데이터를 연결하는 데에 이 공식의 사용을 지지한다.
• 동역학적 공식과 산술적 공식 간의 비교는, 동역학계의 코호몰로지가 산술 스킴에 대한 모티브 코호몰로지를 실현할 수 있다는 힌트를 제공한다.