[論文レビュー] Arithmetic Progressions of Cycle Lengths in Graphs

Jacques Verstraëte|ArXiv.org|Apr 17, 2002

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、HäggkvistとScottの予想を解決する。平均次数が $4k$ 以上の二部グラフで、閉路長が $g$ であるとき、$(g/2 - 1)k$ 個の連続する偶数長の閉路が存在することを証明している。証明は、弦を伴う閉路に関する構造的補題と幅優先探索部分グラフの性質に依存しており、$k$ で割った剰余に関する閉路長の結果を拡張し、二部グラフにおける偶数長閉路の極値境界を改善している。

ABSTRACT

A recently posed question of Haggkvist and Scott's asked whether or not there exists a constant c such that if G is a graph of minimum degree ck then G contains cycles of k consecutive even lengths. In this paper we answer the question by proving that for k > 1, a bipartite graph of average degree at least 4k and girth g contains cycles of (g/2-1)k consecutive even lengths. We also obtain a short proof of the theorem of Bondy and Simonovits, that a graph of order n and size at least 8(k-1)n^{1 + 1/k} has a cycle of length 2k.

研究の動機と目的

• 線形最小次数を持つグラフにおける $k$ 個の連続する偶数長閉路の存在に関する Häggkvist と Scott の予想を解決すること。
• Bollobás の $k$ で割った剰余に関する閉路長の結果を一般化し、$c_k = 8k$ のより緊密な境界を与えること。
• 閉路長と平均次数を用いた、二部グラフにおける偶数長閉路の存在に関する新しい極値境界を確立すること。
• Bondy-Simonovits の $C_{2k}$-自由グラフに関する定理の短い証明を、新規の構造的補題を用いて与えること。

提案手法

• 閉路に弦を伴う構造と頂点分割に関する鍵となる補題を活用し、閉路長の法におけるすべての長さのパスの存在を示す。
• Kostochka と Pyber の結果を応用し、幅優先探索部分グラフの構成を用いて、平均次数が高く半径が小さい部分グラフを特定する。
• 閉路長の制約を用いて短い閉路の存在を制限し、部分グラフ内の構造的豊かさを保証する。
• 高彩色数の部分グラフに彩色補題を適用し、連続する閉路長を導出する。
• 極値グラフ理論と閉路構造解析を組み合わせ、閉路長の列の境界を導出する。
• 閉路ラベリングにおける帰納法と周期性の議論を用いて、弦を伴う閉路におけるパスの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均次数の線形な下界が、二部グラフにおける $k$ 個の連続する偶数長閉路を保証できるか？
• RQ2 与えられた閉路長 $g$ のグラフにおいて、偶数長閉路の等差数列を強制するのに必要な最小平均次数は何か？
• RQ3 Bollobás が得た $c_k = 2[(k+1)^k - 1]/k$ の境界は、$k$ で割った剰余に関する閉路長において改善可能か？
• RQ4 高彩色数かつ大閉路長をもつグラフは、長大な連続する閉路長の列を含むか？
• RQ5 与えられた閉路長をもつ二部グラフにおいて、$C_{2k}$ を強制するために必要な辺の極値数は何か？

主な発見

• 平均次数が $4k$ 以上で閉路長が $g$ である二部グラフは、少なくとも $(g/2 - 1)k$ 個の連続する偶数長閉路を含む。
• そのような閉路の最短長は、グラフの半径の2倍以下であることが示され、構造的性質と距離的性質が結びつけられる。
• $c_k = 8k$ が Erdős-Burr 予想における $k$ で割った剰余に関する閉路長に十分であり、Bollobás の初期の境界を改善する。
• この結果から、サイズが $4\lceil 2(k-1)/(g-2)\rceil n^{1+1/k}$ 以上の二部グラフは、長さ $2k$ の閉路を含むことが導かれる。
• Bondy-Simonovits の定理について、$8(k-1)n^{1+1/k}$ の辺で十分であることを示す短い証明が与えられる。
• $C_{2k}$ の極値境界は、$90kn^{1+1/k}$ から $8(k-1)n^{1+1/k}$ に改善され、閉路の存在に対するより鋭い制御が可能になる。