[論文レビュー] Arrangements of hyperplanes I: Rational functions and Jeffrey-Kirwan residue

Michel Brion, Michèle Vergne|ArXiv.org|Mar 30, 1999

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、極が超平面配置にある有理関数の空間を定数係数微分作用素のモジュールに分解する手法を導入し、留数および主部の概念を一般化する。ラプラシアン変換と関連づけられ、Jeffrey-Kirwan留数の代数的基盤を提供することで、留数公式の新たな証明を可能にし、多次元エーゼンスタイン級数およびウィッテンゼータ関数の恒等式への道筋を示す。

ABSTRACT

Consider the space $R_Δ$ of rational functions of several variables with poles on a fixed arrangement $Δ$ of hyperplanes. We obtain a decomposition of $R_Δ$ as a module over the ring of differential operators with constant coefficients. We generalize to the space $R_Δ$ the notions of principal part and of residue, and we describe its relations to Laplace transforms of locally polynomial functions. This explains algebraic aspects of work by L. Jeffreys and F. Kirwan about integrals of equivariant cohomology classes on Hamiltonian manifolds. As another application, we will construct multidimensional versions of Eisenstein series in a subsequent article, and we will obtain another proof of a residue formula of A. Szenes for Witten zeta functions.

研究の動機と目的

• 固定された超平面配置上に極をもつ有理関数の空間を定数係数微分作用素のモジュールとして分解すること。
• この文脈において、主部および留数の概念を一般化し、古典的な概念を高次元の有理関数へと拡張すること。
• ハミルトニアン多様体上の等変コホモロジー積分に用いられるJeffrey-Kirwan留数の代数的基盤を明確にすること。
• 今後の中での多次元エーゼンスタイン級数の構成の基盤を築くこと。
• A. Szenesのウィッテンゼータ関数の留数公式の代数的証明を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、固定された超平面配置 $ \Delta $ に極をもつ有理関数の空間 $ R_{\Delta} $ を定義する。
• 彼らは、配置の各ストラトゥムにおけるジャンプ的テイラー展開の空間に同型な部分モジュールの直和として、$ R_{\Delta} $ の自然な分解を構成する。
• 彼らは、Jeffrey-Kirwan留数構成を用いて、古典的留数を高次元に拡張する一般化された留数写像を導入する。
• 彼らは、ベクトル空間上の双対性およびフーリエ解析を用いて、一般化された留数と局所多項式関数のラプラシアン変換との関係を明らかにする。
• 彼らは代数幾何学および表現論の技法を用いて、$ R_{\Delta} $ のモジュール構造を分析する。
• 彼らは $ R_{\Delta} $ と-compactly supported polynomial functions の空間との双対性を確立し、留数計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超平面配置上に極をもつ有理関数の空間は、定数係数微分作用素のモジュールとしてどのように分解可能か？
• RQ2 複素の極配置を持つ複素変数有理関数に対して、古典的留数および主部の正しい一般化は何か？
• RQ3 局所多項式関数のラプラシアン変換は、超平面配置上の留数理論とどのように関係するか？
• RQ4 Jeffrey-Kirwan留数構成は、$ R_{\Delta} $ の代数的構造からどのように自然に生じるか？
• RQ5 ここで開発された代数的留数理論は、Szenesのウィッテンゼータ関数の留数公式のような既知の公式の新たな証明を可能にするか？

主な発見

• $ R_{\Delta} $ は、配置のストラトゥムによってインデックスづけられた部分モジュールの直和として自然に分解可能であり、それぞれがジャンプ的テイラー展開の空間に同型である。
• $ R_{\Delta} $ 上の一般化された留数写像は、ハミルトニアン多様体上の等変コホモロジー積分の文脈において、Jeffrey-Kirwan留数と一致する。
• $ R_{\Delta} $ とコンパクトに台を持つ多項式関数の空間との間に双対性が存在し、これによりラプラシアン変換が $ R_{\Delta} $ 上のペアリングとして解釈可能になる。
• 配置が中心的であり、関数が負の次数の同次関数である場合、$ R_{\Delta} $ 上の留数写像は定数関数の空間へ全射である。
• ここに開発された代数的枠組みは、A. Szenesのウィッテンゼータ関数の留数公式の新たな、完全に代数的な証明を可能にする。
• 本研究の結果は、後続の出版物における多次元エーゼンスタイン級数の構成の基盤を築く。