[論文レビュー] Aspects of Perturbation theory in Quantum Mechanics: The BenderWu Mathematica package

Tin Sulejmanpašić, Mithat Ünsal|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 25被引用数 11

ひとこと要約

この論文では、任意の局所的に調和的なポテンシャルを持つ1次元量子系における高次の摂動計算を可能にする記号計算ツールであるBenderWu Mathematicaパッケージを紹介する。Bender-Wu法を一般化することで、エネルギーおよび波動関数補正の正確な再帰関係を導出し、標準的なコンピュータ上でも250次までの摂動計算を効率的に行える。応用分野は、再帰的理論および非摂動的物理の抽出に及びます。

ABSTRACT

We discuss a general setup which allows the study of the perturbation theory of an arbitrary, locally harmonic 1D quantum mechanical potential as well as its multi-variable (many-body) generalization. The latter may form a prototype for regularized quantum field theory. We first generalize the method of Bender-Wu, and derive exact recursion relations which allow the determination of the perturbative wave-function and energy corrections to an arbitrary order, at least in principle. For 1D systems, we implement these equations in an easy to use Mathematica package we call BenderWu. Our package enables quick home-computer computation of high orders of perturbation theory (about 100 orders in 10-30 seconds, and 250 orders in 1-2h) and enables practical study of a large class of problems in Quantum Mechanics. We have two hopes concerning the BenderWu package. One is that due to resurgence, large amount of non-perturbative information, such as non-perturbative energies and wave-functions (e.g. WKB wave functions), can in principle be extracted from the perturbative data. We also hope that the package may be used as a teaching tool, providing an effective bridge between perturbation theory and non-perturbative physics in textbooks. Finally, we show that for the multi-variable case, the recursion relation acquires a geometric character, and has a structure which allows easy parallelization to computer clusters.

研究の動機と目的

• 任意の局所的に調和的なポテンシャルを持つ1次元量子力学的系における高次の摂動補正を計算する汎用的なフレームワークの開発。
• アンハーモニックオシレーターを超えて、多変数（多数体）一般化を含む広範なポテンシャルクラスにまでBender-Wu法を拡張すること。
• 標準的なコンピュータ上で250次までの記号的・高精度な摂動展開計算を可能にする実用的で使いやすいMathematicaパッケージの実装。
• 摂動データからWKB波動関数などの非摂動的情報を抽出することで、再帰的構造の研究を促進すること。
• 教育的文脈において摂動的および非摂動的量子力学をつなぐ教育的ツールとしての役割を果たすこと。

提案手法

• 次元なしの結合定数 $ g = \sqrt{\hbar / (m\omega a^2)} $ を用いて、ポテンシャルを調和的最小点の周りで展開することで、Bender-Wu法を任意の局所的に調和的な1次元ポテンシャルに一般化する。
• レイリー＝シュレーディンガー摂動論の枠組みに基づき、エネルギーおよび波動関数補正の正確な再帰的式を導出する。
• 数値誤差のない正確な結果を得るために、Mathematicaにおける記号計算を実装し、ポテンシャルに任意の記号的パラメータをサポートする。
• 多変数の場合に幾何的構造を導入し、コンピュータクラスタでの並列化を可能にする。
• ヘルミート多項式および相互作用ポテンシャルの行列要素を用いて、波動関数補正を中間状態の和として表現する。
• 数学的帰納法および再帰関係を用いて、各摂動次数 $ l $ における最大調和振動子状態レベル $ K_l $ が $ \nu + (L+2)\lfloor l/L \rfloor + (l \mod L) $ のスケーリング則に従うことを厳密に証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンハーモニックオシレーターを超えて、任意の局所的に調和的な1次元量子系ポテンシャルに対してBender-Wu法をどのように一般化できるか。
• RQ2 高次のエネルギーおよび波動関数補正の計算を可能にする摂動再帰関係の構造は何か。
• RQ3 標準的なハードウェア上で250次までの摂動展開を効率的に計算できる実用的で記号的計算可能なパッケージを開発できるか。
• RQ4 再帰的理論を用いて、WKB波動関数などの非摂動的物理的性質を、高次の摂動的データからどの程度まで抽出できるか。
• RQ5 多変数一般化された方法は、コンピュータクラスタでの並列化に適した幾何的構造をどのように獲得するか。

主な発見

• BenderWuパッケージは、標準的な家庭用コンピュータ上でも、10～30秒で100次まで、1～2時間で250次までの摂動補正を記号計算で計算可能である。
• 摂動次数 $ l $ における波動関数展開の最大調和振動子状態レベル $ K_l $ は、$ \nu + (L+2)\lfloor l/L \rfloor + (l \mod L) $ で与えられ、ここで $ L $ はポテンシャル展開における最小の非二次項である。
• 調和振動子への補正は、$ g^L $ の次数から初めて現れ、$ l = L $ における $ K_l = \nu + L + 2 $ であり、以降の次数は予測可能で再帰的なパターンに従うことが確認された。
• 多変数一般化された再帰関係は、コンピュータクラスタでの効率的並列化に適した幾何的構造を獲得している。
• パッケージは、再帰的理論を用いて摂動的データから非摂動的情報（例：WKB波動関数）を抽出でき、摂動的および非摂動的物理の深い関係を示している。
• 記号的計算の性質により、数値誤差のない正確な結果が得られ、ポテンシャルは任意の記号的パラメータに依存可能であり、摂動論のパrametricな研究が可能である。