[論文レビュー] Associative algebras for (logarithmic) twisted modules for a vertex operator algebra

Yi-Zhi Huang, Jinwei Yang|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限位数の半単純でない自己同型 $g$ を持つ頂点作用素代数 $V$ に対して、$Z_g(V)$（$g$-捩れたゼロモード代数）および $A_g(V)$（Zhuの代数の $g$-捩れた一般化）という2つの結合代数を構成する。これらの代数のモジュールと $g$-捩れた $V$-モジュールの間のカテゴリの同値性を確立し、$Z_g(V)$ と $A_g(V)$ が同型であることを証明することで、Zhu理論を対数的捩れたモジュールへ一般化する。

ABSTRACT

We construct two associative algebras from a vertex operator algebra $V$ and a general automorphism $g$ of $V$. The first, called $g$-twisted zero-mode algebra, is a subquotient of what we call $g$-twisted universal enveloping algebra of $V$. These algebras are generalizations of the corresponding algebras introduced and studied by Frenkel-Zhu and Nagatomo-Tsuchiya in the (untwisted) case that $g$ is the identity. The other is a generalization of the $g$-twisted version of Zhu's algebra for suitable $g$-twisted modules constructed by Dong-Li-Mason when the order of $g$ is finite. We are mainly interested in $g$-twisted $V$-modules introduced by the first author in the case that $g$ is of infinite order and does not act on $V$ semisimply. In this case, twisted vertex operators in general involve the logarithm of the variable. We construct functors between categories of suitable modules for these associative algebras and categories of suitable (logarithmic) $g$-twisted $V$-modules. Using these functors, we prove that the $g$-twisted zero-mode algebra and the $g$-twisted generalization of Zhu's algebra are in fact isomorphic.

研究の動機と目的

• $g$ が無限位数で半単純に作用しない場合に、Zhuの結合代数枠組みを $g$-捩れたモジュールへ拡張すること。
• 標準的なZhu代数の構成が無限位数の場合に失敗するという課題に対処すること。
• $g$-捩れた一般線型包あらわし代数 $U_g(V)$ を一般の $g$-捩れた $V$-モジュールのために定義し、研究すること。
• $g$-捩れた $V$-モジュールと $g$-捩れたゼロモード代数 $Z_g(V)$ のモジュールの間の函手的同値性を確立すること。
• $Z_g(V)$, $\tilde{A}_g(V)$, および $A_g(V)$ が同型であることを証明し、捩れた表現理論における主要な代数的構造を統一すること。

提案手法

• $g$-捩れた普遍包あらわし代数 $U_g(V)$ を、$V$ のアフィニゼーションのテンソル代数の位相的完備化として構成し、$g$-捩れた関係を組み込む。
• $Z_g(V)$ を $U_g(V)$ の部分商代数として定義し、$g$-捩れた頂点作用素のゼロモード作用を捉える。
• $A_g(V)$ を、頂点作用素写像から導かれる積を用いた $V$ の商として定義する $g$-捩れたZhu代数の一般化。
• $Z_g(V)$-モジュールから $\overline{\mathbb{C}}_+$-次数付き $g$-捩れた $V$-モジュールへの誘導モジュール構成 $S_g(M)$ を用いて函手を構成する。
• $g$-捩れた $V$-モジュールから $A_g(V)$-モジュールへの函手を、ゼロモード空間 $\Omega_g(W)$ と誘導モジュール $H_g(M)$ を用いて確立する。
• $Z_g(V)$, $\tilde{A}_g(V)$, および $A_g(V)$ 間の同型を、モジュール函手を用いて逆のホモモーマーフィズムを構成し、その合成が恒等写像になることを検証することで証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $g$ が無限位数で半単純に作用しない場合に、頂点作用素代数に対して $g$-捩れた普遍包あらわし代数を構成できるか？
• RQ2 対数的設定下で、$g$-捩れた $V$-モジュールを分類するwell-definedな結合代数構造が存在するか？
• RQ3 $g$-捩れたゼロモード代数 $Z_g(V)$ が $g$-捩れたZhu代数 $A_g(V)$ と同型であることを示せるか？
• RQ4 $Z_g(V)$-モジュールと $g$-捩れた $V$-モジュールの間の函手がカテゴリの同値性を確立するか？
• RQ5 $Z_g(V)$, $\tilde{A}_g(V)$, および $A_g(V)$ 間の同型が、ZhuとFrenkel-Zhuの古典的結果を無限位数・対数的ケースに一般化するか？

主な発見

• $Z_g(V)$ と $g$-捩れたZhu代数 $A_g(V)$ は同型であり、古典的結果を対数的設定へ拡張する。
• $U_g(V)$ の構成は、最も弱いタイプの $g$-捩れた $V$-モジュールのための普遍的枠組みを提供し、Frenkel-Zhuの普遍包あらわし代数を一般化する。
• $Z_g(V)$-モジュールと $\overline{\mathbb{C}}_+$-次数付き $g$-捩れた $V$-モジュールの間の函手は、互いに quasi-inverse であり、カテゴリの同値性を確立する。
• $Z_g(V)$ の元はすべて、$v \in V$ に対して $[o_g(v)]$ の形に限り、ゼロモード作用が代数全体を生成することを確認する。
• $Z_g(V)$ と $A_g(V)$ の同型は、一方の代数で証明された結果が即座に他方へ拡張できることを示し、捩れた表現理論における主要な代数的構造を統一する。
• $\tilde{A}_g(V)$ は $Z_g(V)$ と同型であり、特に捩れた相互作用演算子の文脈におけるモジュラー不変性を研究する上でより自然であることが示された。